专题05 解析几何（解答题10种考法）讲义（解析版）

专题05解析几何（解答题10种考法）考法一定点【例1-1】（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知点4,3P为双曲线2222:1(0,0)xyEabab上一点，E的左焦点1F到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E的标准方程；(2)不过点P的直线ykxt与双曲线E交于,AB两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线ykxt过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)22143xy(2)证明见解析，定点为(2,3).【解析】（1）设1(,0)Fc(0)c到渐近线byxa，即0bxay的距离为3，则22||3bcba，结合222abc得3b，又(4,3)P在双曲线22213xya上，所以216913a，得24a，所以双曲线E的标准方程为22143xy.（2）联立22143ykxtxy，消去y并整理得2223484120kxktxt，则2340k，2222644(34)(412)0ktkt，即2234tk，设11(,)Axy，22(,)Bxy，则122834ktxxk，212241234txxk，则12123344PAPByykkxx12123344kxtkxtxx122112343444kxtxkxtxxx121212122438244()16kxxtkxxtxxxx1，所以1212243824kxxtkxxt12124()16xxxx，所以12122141880kxxtkxxt，所以222214124188803434kttkkttkk，整理得22626890tkkttk，所以22(3)2(3)80tktk，所以32340tktk，因为直线ykxt不过(4,3)P，即34kt，340tk，所以320tk，即23tk，所以直线23ykxtkxk，即3(2)ykx过定点(2,3).【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)Cbbxaay的离心率是53，点2,0A在C上．(1)求C的方程；(2)过点2,3的直线交C于,PQ两点，直线,APAQ与y轴的交点分别为,MN，证明：线段MN的中点为定点．【答案】(1)22194yx(2)证明见详解【解析】（1）由题意可得222253babccea，解得325abc，所以椭圆方程为22194yx.（2）由题意可知：直线PQ的斜率存在，设1122:23,,,,PQykxPxyQxy，联立方程2223194ykxyx，消去y得：222498231630kxkkxkk，则2222Δ64236449317280kkkkkk，解得0k，可得2121222163823,4949kkkkxxxxkk，因为2,0A，则直线11:22yAPyxx，令0x，解得1122yyx，即1120,2yMx,同理可得2220,2yNx，则1212121222232322222yykxkxxxxx12211223223222kxkxkxkxxx1212121224342324kxxkxxkxxxx222222323843234231084949336163162344949kkkkkkkkkkkkkkk，所以线段MN的中点是定点0,3.【例1-3】（2023·江西九江·统考一模）已知过点(2,0)P的直线l与抛物线2:2(0)Eypxp交于,AB两点，过线段AB的中点M作直线MNy轴，垂足为N，且PMPN.(1)求抛物线E的方程；(2)若C为E上异于点,AB的任意一点，且直线,ACBC与直线2x交于点,DR，证明：以DR为直径的圆过定点.【答案】(1)24yx(2)证明见解析【解析】（1）由题意，可设直线l的方程为2xmy，将2xmy代入22ypx，消去x得2240ypmyp，设11(,)Axy，22(,)Bxy，则122yypm，124yyp，M是线段AB的中点，21212(42)22Mxxmyyxpm，122Myyypm，即2(2,)Mpmpm，又MNy轴，垂足N的坐标为(0,)pm，则2(,)PMpmpm，(2,)PNpm，PMPN，22220PMPNpmpm对任意的Rm恒成立，220pp，又0p，解得2p，故抛物线E的方程为24yx.（2）设2(,)4tCt，211(,)4yAy，222(,)4yBy，由（1）可知，124yym，128yy，则12211444ACytkytyt，直线AC的方程为214()4tytxyt，令2x，则211184(2)4tytytytyt，118(2,)tyDyt，同理228(2,)tyRyt，由抛物线的对称性可知，若以线段DR为直径的圆过定点，则定点必在x轴上，设该点坐标为(,0)Ta，则118(2,)tyDTayt，228(2,)tyRTayt，且0DTRT，2121288(2)0tytyaytyt，22212121222121212888()6483264(2)8()48tytytyytyytmtaytytyytyyttmt，222a或222a，以DR为直径的圆过定点(222,0)和(222,0).【变式】1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过30,2,,12AB两点．(1)求E的方程；(2)设过点1,2P的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MTTH．证明：直线HN过定点．【答案】(1)22143yx(2)(0,2)【解析】（1）解：设椭圆E的方程为221mxny，过30,2,,12AB，则41914nmn，解得13m，14n，所以椭圆E的方程为：22143yx.（2）3(0,2),(,1)2AB，所以2:23AByx，①若过点(1,2)P的直线斜率不存在，直线1x.代入22134xy，可得26(1,)3M，26(1,)3N，代入AB方程223yx，可得26(63,)3T，由MTTH得到26(265,)3H.求得HN方程：26(2)23yx，过点(0,2).②若过点(1,2)P的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kxykMxyNxy.联立22(2)0,134kxykxy得22(34)6(2)3(4)0kxkkxkk，可得1221226(2)343(4)34kkxxkkkxxk，12221228234444234kyykkkyyk，且1221224(*)34kxyxyk联立1,223yyyx可得111113(3,),(36,).2yTyHyxy可求得此时1222112:()36yyHNyyxxyxx，将(0,2)，代入整理得12121221122()6()3120xxyyxyxyyy，将(*)代入，得222241296482448482436480,kkkkkkk显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).2．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知椭圆2222:10xyEabab的离心率是22，上、下顶点分别为A，B.圆22:2Oxy与x轴正半轴的交点为P，且1PAPB.(1)求E的方程；(2)直线l与圆O相切且与E相交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆恒过定点.【答案】(1)22163xy(2)证明见解析【解析】（1）由已知得0,Ab，0,Bb，2,0P.则2,PAb，2,PBb，221PAPBb，所以23b.因为22cea，又222bca，所以23c，26a.故E的方程为22163xy.（2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为ykxm，即0kxym.因为直线l与圆O相切，所以221mk，即2222mk.设11,Mxy，22,Nxy，则11ykxm，22ykxm.由22,1,63ykxmxy化简，得222214260kxkmxm，由韦达定理，得12221224212621kmxxkmxxk，，所以2212121212yykxmkxmkxxkmxxm222222222646212121mkmmkkkmmkkk，所以2222212122223222660212121mkmmkxxyykkk，故OMON，即以MN为直径的圆过原点O.当直线l的斜率不存在时，l的方程为2x或2x.这时2,2M，2,2N或2,2M，2,2N.显然，以MN为直径的圆也过原点O.综上，以MN为直径的圆恒过原点O.3（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为2，圆224xy与椭圆C恰有两个公共点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知结论：若点00,xy为椭圆22221xyab上一点，则椭圆在该点处的切线方程为00221xxyyab．若椭圆C的短轴长小于4，过点(8,)Tt作椭圆C的两条切线，切点分别为,AB，求证：直线AB过定点．【答案】(1)22154xy或22143xy(2)证明见解析【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c．当圆224xy在椭圆C的内部时，2222,1,5bcabc，椭圆C的方程为22154xy．当圆224xy在椭圆C的外部时，2222,1,3acbac，椭圆C的方程为22143xy．（2）证明：设1122,,,AxyBxy．因为椭圆C的短轴长小于4，所以C的方程为22143xy．则由已知可得，切线AT的方程为111,43xxyyBT的方程为22143xxyy，将(8,)Tt代入,ATBT的方程整理可得，1122630,630xtyxty．显然,AB的坐标都满足方程630xty，故直线AB的方程为630xty，令0y，可得12x，即直线AB过定点1,02．考法二定值【例2】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点为1F，2F，离心率为12．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线1PF、2PF分别与椭圆C交于点A、B，1PFB△的周长为8．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若111PFFA，222PFF