专题04 统计概率（解答题11种考法）（精讲）（解析版）

专题04统计概率（解答题11种考点）考法一超几何模型【例1-1】（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按60,65,65,70,70,75,75,80,80,85,85,90,90,95,95,100分成8组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在70,75和85,90内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在70,75内的学员人数为X，求X的分布列与数学期望．【答案】(1)0.036a，82.3(2)分布列见解析；期望为53【解析】（1）由直方图可知0.0080.0160.0200.0440.0400.0280.00851a，解得0.036a．因为0.0080.0160.020.03650.40.5，0.0080.0160.020.0360.04450.620.5，所以学员该项技能的评价指标的中位数在80,85内．设学员该项技能的评价指标的中位数为m，则800.0440.40.5m，解得82.3m．（2）由题意可知抽取的12名学员中该项技能的评价指标在70,75内的有4名，在85,90内的有8名．由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4．58512C70C99PX，4184512CC351C99PX，3284512CC142C33PX，2384512CC143C99PX，1484512CC14C99PX，则X的分布列为X01234P79935991433149919973514141501234.99993399993EX【例1-2】（2023·河南新乡·统考三模）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．(1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．(2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出1,2,3ii个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为iEX．证明：134EXEX．【答案】(1)1835(2)证明见解析【解析】（1）由题可知，甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率224448CC18C35P．（2）当1i时，X的取值可能是2，3，4，且11331144CC92CC16PX，113111442CC33CC8PX，11111144CC14CC16PX，则19315234168162EX．当3i时，X的取值可能是0，1，2，且33333344CC10CC16PX，233333442CC31CC8PX，22333344CC92CC16PX，则31393012168162EX．故134EXEX．【例1-3】（2023·山东泰安·校考模拟预测）某购物中心准备进行扩大规模，在制定末来发展策略时，对中心的现有顾客满意度进行了一个初步的现场调查，分别调查顾客对购物中心的商品质量、服务质量、购物环境、广告宣传的满意程度．调查时将对被抽中的每个顾客从这四个问题中随机抽取两个问题来提问，统计顾客的满意情况．假设，有三名顾客被抽到，且这三名顾客对这四个问题的满意情况如下表：商品质量服务质量购物环境广告宣传顾客甲满意不满意满意不满意顾客乙不满意满意满意满意顾客丙满意满意满意不满意每得到一个满意加10分，最终以总得分作为制定发展策略的参考依据．(1)求购物中心得分为50分的概率；(2)若已知购物中心得分为50分，则顾客丙投出一个不满意的概率为多少？(3)列出该购物中心得到满意的个数X的分布列，并求得分的数学期望．【答案】(1)14(2)16(3)分布列见解析，40【解析】（1）将得分为50分记为事件A；得分为50分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，可能的结果共有：11222122212233233233CCCCCCCCCC54（种）三名顾客产生的反馈结果总共有：324216C（种）则5412164PA，∴购物中心得分为50分的概率为14（2）将顾客丙投出一个不满意记为事件B，则221233324CCC124CPAB，1124164PABPBAPA，（3）X可能的取值为2、3、4、5、6211233324CCC1224CPX，11112122212233233233324CCCCCCCCCC134CPX2221112112121123322332233233324CCCCCCCCCCCCCC5412CPX，154PX222233324CCC1624CPXX23456P12414512141241151123456424412424EX∵10X，∴1040EEX．【变式】1.（2022·广东汕头·二模）袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）【解析】（I）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则3111433331227()55CCCCPAC．（II）由题意X所有可能的取值为：1，2，3，4.31211(1)220PXC；212133333331219(2)220CCCCCPXC；21123636333126416(3)22055CCCCCPXC；211239393331213634(4)22055CCCCCPXC．所以随机变量X的分布列为X1234P12201922016553455随机变量X的均值为11916341551234220220555544EX．2.（2023云南某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所辖的A，B，C三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种．（1）求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；（2）记A，B，C三个区选择的疫苗批号的中位数为X，求X的分布列．【答案】（1）1225；（2）随机变量X的分布列为：X12345P1312531125371253112513125【解析】（1）设三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同为事件A，则2225323CCA12525PA．（2）X的所有可能取值为1，2，3，4，5，则213431CC1315125PX，2113343331CCCA3125125PX，211133422331CCCCA3735125PX，2113343331CCCA3145125PX，213431CC1355125PX．所以随机变量X的分布列为：X12345P13125311253712531125131253．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数X的分布列；(3)求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．【答案】(1)36125(2)分布列见解析(3)最有可能是1人，理由见解析【解析】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为25，则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为2232336C55125P；（2）X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0，1，2．2225C1(0)C10PX；112325CC6(1)C10PX；2325C3(2)C10PX．所以分布列为：X012P0.10.60.3（3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0，1，2，则有：11222222333224222222555555CCCCCCC37(0)CCCCCC100P，11111122112323233241222222555555CCCCCCCCCC54(1)CCCCCC100P，2112223233222222255555CCCCCC9(2)0CCCCC100P，因为(1)(0)(2)PPP，故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人．考法二二项分布【例2】（2023·宁夏石嘴山·统考一模）人类命运共同体充分展现了中国的大国担当．在第75届联合国大会上中国承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解AB、两个品牌新能源电动汽车的使用满意度，在某市对购买AB、两个品牌的用户各随机抽取了100名进行问卷调查，记录他们对A、B两种品牌的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，并整理得到如下频率分布直方图：(1)请通过频率分布直方图分别估计A、B两种电动汽车使用满意度的平均得分，并判断哪种品牌电动汽车更受用户欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；(2)以样本频率估计概率，若使用满意度得分不低于70分说明用户对该品牌电动汽车较满意，现从该市使用B品牌的用户中随机抽取5个人，用X表示对B品牌较满意的人数，求X的分布列及数学期望．【答案】(1)A，B品牌电动汽车的满意度平均分分别为72.778.3,，B品牌电动汽车更受用户欢迎；(2)分布列见解析，154.【解析】（1）设用户对A品牌电动汽车的满意度平均分为x，则450.006550.014650.018750.031850.021950.0101072.7x，设用户对B品牌电动汽车的的满意度平均分为y，则450.005550.010650.010750.020850.032950.0231078.3y，显然72.778.3，所以B品牌电动汽车更受用户欢迎．（2）依题意，用户对B品牌电动汽车满意度不低于70分的频率为30.0200.0320.023100.754，低于70分的频率为10.0050.0050.015100.254，从该市使用B品牌的用户中随机抽取5个人，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，则35,4XB