专题03 空间几何与空间向量（解答题10种考法）（精练）（解析版）

专题03空间几何（解答题10种考法）1．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，四棱锥PABCD中，2PAPBABAD，4BC，//ADBC，ADAB，AC与BD交于点O，过点O作平行于平面PAB的平面.(1)若平面分别交PC，BC于点E，F，求OEF的周长；(2)当22PD时，求平面与平面PCD夹角的正弦值.【答案】(1)4(2)255.【解析】（1）由题意可知，四边形ABCD是直角梯形，∴AOD△与COB△相似，又12ADBC，∴12AOOC，12ODOB，因为过点O作平行于平面PAB的面分别交PC，BC于点E，F，即平面//OEF平面PAB，平面OEF平面PBCEF，平面PBC平面PABPB，平面OEF平面PACOE，平面PAC平面PABPA，平面OEF平面ABCOF，平面ABC平面PABAB，由面面平行的性质定理得//OEPA，//OFAB，//EFPB，所以PAB与OEF相似，相似比为3:2，即32ABAPPBOFOEEF，因为PAB的周长为6，所以OEF的周长为4.（2）∵平面//平面PAB，∴平面与平面PCD的夹角与平面PAB与平面PCD的夹角相等，∵2AD，2PA，22PD，∴222PDADPA，∴ADPA，又ADAB，ABPAA，,ABPA平面PAB，∴AD平面PAB，AD平面ABCD，∴平面PAB平面ABCD，取AB的中点G，因为ABC为等边三角形，∴PGAB，平面PAB平面ABCDAB，PG平面PAB，∴PG平面ABCD，以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，过点A与PG平行的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则0,0,0A，0,2,0D，1,0,3P，2,4,0C，0,2,0AD，2,2,0DC，1,2,3DP，设平面PCD的法向量,,nxyz，则00DCnDPn，即220230xyxyz，取1x，则1,1,3n，∵AD平面PAB，∴AD是平面PAB的一个法向量，设平面与平面PCD夹角为，则15cos55ADnADn，所以25sin5，所以平面与平面PCD夹角的正弦值为255.2．（2023·江西九江·统考一模）如图，直角梯形ABCD中，//ADBC，90BAD，2ABAD，22BC，将ABD△沿BD翻折至ABD的位置，使得ABAC，F为BC的中点．(1)求证：平面ABD平面BCD；(2)H为线段AC上一点（端点除外），若二面角CDFH的余弦值为33，求线段AH的长．【答案】(1)证明见解析(2)62【解析】（1）易知ABAC，ABAD，ACADA，,ACAD平面ACD，AB平面ACD，又CD平面ACD，所以CDAB由直角梯形ABCD，//ADBC，90BAD，2ABAD，可得2BDCD，又22BC，得CDBD；又ABBDB，ABBD,平面ABD，所以CD平面ABD又CD平面BCD，可得平面ABD平面BCD（2）取BD的中点E，连接AE，EF，ABAD，AEBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AE平面BCD，E为BD的中点，F为BC的中点，可得//EFCD，又CDBD，EFBD故以,,EBEFEA所在的直线分别为,,xyz轴，建立如图空间直角坐标系，则(0,0,0)E，(0,0,1)A，(1,0,0)D，(0,1,0)F，(1,2,0)C，设,0,1AHAC，则(,2,1)H设平面HDF的一个法向量为(,,)mxyz，(1,1,0)DF，(1,2,1)DH，所以01210mDFxymDHxyz，令1x，得1y，311z，即31(1,1,)1m平面CDF的一个法向量为(0,0,1)n可得231||31|cos,|3||||312()1mnmnmn，解得12或0(舍)即H为AC的中点，易知6AC，故线段AH的长为16||22AC.3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）如图所示，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为直角梯形，ADBC∥，ABBC，侧面ABEF为菱形，平面ABEF平面ABCD，M为棱BE的中点．(1)若点N为DE的中点，求证：MN平面ABCD；(2)若12ABBCAD，60EBA，求平面MAD与平面EFD夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)25719．【解析】（1）证明：连接BD，MN，因为M，N分别为BE，DE的中点，所以MN为EBD△的中位线，所以//MNBD，又MN平面ABCD，BD平面ABCD，所以//MN平面ABCD．（2）解：取AB的中点O，连接OE，因为侧面ABEF为菱形，且60EBA，所以在EBO中，2222cos60EOBOEBBOEB，解得3EOBO，所以222EOOBEB'，即OEAB，又因为平面ABEF平面ABCD，平面ABEF平面ABCDAB，OE平面ABEF，所以OE平面ABCD，过O作AB的垂线，交BD于H并延长，分别以OH，OA，OE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，设4AD，则122ABBCAD，故0,0,3E，4,1,0D，0,1,0A，0,2,3F，0,1,0B，则130,,22M，330,,22MA，334,,22MD，0,2,0EF，4,1,3ED，设平面MAD的法向量为111,,mxyzr，则1111133022334022mMAyzmMDxyz，即11103xzy，取11y，可得0,1,3m，设平面EFD的法向量为222,,nxyzr，212120430nEFymEDxyz，即222043yxz，令243z，则23x，所以3,0,43n，则257cos19mnmnmn，故平面MAD与平面EFD夹角的余弦值为25719．4．（2023·新疆·统考三模）如图，在圆柱体1OO中，1OA，12OO，劣弧11AB的长为π6，AB为圆O的直径．(1)在弧AB上是否存在点C（C，1B在平面11OAAO同侧），使1BCAB，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求二面角111AOBB的余弦值．【答案】(1)存在，1BC为圆柱1OO的母线(2)25117【解析】（1）存在，当1BC为圆柱1OO的母线时，1BCAB．证明如下：连接BC，AC，1BC，因为1BC为圆柱1OO的母线，所以1BC平面ABC，又因为BC平面ABC，所以1BCBC．因为AB为圆O的直径，所以BCAC．又1ACBCC，1,ACBC平面1ABC，所以BC平面1ABC，因为1AB平面1ABC，所以1BCAB．（2）以O为原点，OA，1OO分别为y，z轴，垂直于y，z轴的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,1,2)A，1(0,0,2)O，(0,1,0)B，因为劣弧11AB的长为π6，所以111π6AOB，113,,222B，则1(0,1,2)OB，1113,,022OB．设平面11OBB的法向量(,,)mxyz，则1112013022OBmyzOBmxy，令3x，解得3y，32z，所以33,3,2m．因为x轴垂直平面11AOB，所以平面11AOB的一个法向量(1,0,0)n．所以3251cos,173934mn，又二面角111AOBB的平面角为锐角，故二面角111AOBB的余弦值为25117．5．（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱111111ABCDEFABCDEF的底面边长为1，高为3，P为线段1DF上的动点.(1)求证：//AP平面1ABC；(2)设直线AP与平面11CDFA所成的角为，求sin的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)615,45【解析】（1）连接AD，1AF.在正六棱柱111111ABCDEFABCDEF中，因为底面为正六边形，所以//ADBC，因为AD平面1ABC，BC平面1ABC，所以//AD平面1ABC.因为11//CDAF，11CDAF，所以四边形11CDFA为平行四边形，所以11//DFAC，又1DF平面1ABC，1AC平面1ABC，所以1//DF平面1ABC，又1ADDFD，所以平面1//ADF平面1ABC，因为P为线段1DF上的动点，所以AP平面1ADF，所以//AP平面1ABC.（2）取1AC的中点为Q，连接AQ，AC.因为底面边长为1，所以3AC，因为13AA，所以1AAAC，所以1AQAC.易得CDAC，1CDAA，1ACAAA，所以CD平面1AAC，所以CDAQ，因为1ACCDC，所以AQ平面11CDFA，即AQ为平面11CDFA的一个法向量.连接BF，以B为坐标原点，BC，BF，1BB所在直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系Bxyz，则13,,022A，113,,322A，1,0,0C，33,,022D，10,3,3F，所以133,,442Q，所以333,,442AQ，133,,322DF，(2,0,0)AD.设133,,322DPDF（01≤≤），所以332,,322APADDP，则22332sin623326642APAQAPAQ，因为01≤≤，所以25332,24，所以sin的取值范围是615,45.6．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图，在六面体ABCDEFG中，四边形ABCD是菱形，////AFDECG，AF平面ABCD，60DAB，H为CD的中点，//AH平面BGEF．(1)求AFCG；(2)若2AFAB，求直线BH与平面BGEF所成角的正弦值．【答案】(1)2AFCG(2)105【解析】（1）四边形ABCD是菱形，//ABCD，又CD平面CDEG，AB平面CDEG，//AB平面CDEG，同理可得：//AF平面CDEG．ABAFAQI，,ABAF平面ABF，平面//ABF平面CDEG，平面BGEF平面CDEGEG，平面BGEF平面ABFBF，//EGBF，同理可得：//BGEF，四边形BGEF是平行四边形；连接,FGBE交于点M，连接,ACBD交于点N，连接MN，设AFa，CGb，则2DEMNAFCGab，延长,EGDC交于点Q，连接BQ，//AH平面BGEF，AH平面ABQD，平面ABQD平面BGEFBQ，//AHBQ，又//ABHQ，四边形AHQB为平行四边形，则HQABCD，H为CD的中点，QCCHHD．//CGDE，13CGQCDEQD，即13bab，解得：2ab，2AFCG.（2）由（1）知，,,MNACBD两两垂直，故以N为坐标原点，,,NANBNM正方向分别为,,xyz轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则0,1,0B，31,,022