专题14 圆锥曲线（选填题8种考法）（解析版）

专题14圆锥曲线（选填题8种考法）考法一曲线的定义及应用【例1-1】（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，点M在C上．若M到直线3x的距离为5，则||MF（）A．7B．6C．5D．4【答案】D【解析】因为抛物线2:8Cyx的焦点2,0F，准线方程为2x，点M在C上，所以M到准线2x的距离为MF，又M到直线3x的距离为5，所以15MF，故4MF.故选：D.【例1-2】．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知椭圆C：22143xy的左､右焦点分别是1F，2F，04,3My为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（）A．12MFF△的周长为6B．12MFF△的面积为153C．12MFF△的内切圆的半径为159D．12MFF△的外接圆的直径为3211【答案】D【解析】由题意知，2a，3b，1c，由椭圆的定义知，1224MFMFa，1222FFc，∴12MFF△的周长为1212426MFMFFF，即A正确；将04,3My代入椭圆方程得22043143y，解得0153y，∴12MFF△的面积为12011523SFFy，即B正确；设12MFF△的内切圆的半径为r，则121212SMFMFFFr，即151632r，∴159r，即C正确；不妨取415,33M，则243MF，183MF，∴12MFF△的面积为12121sin2SMFMFFMF，即1215148sin3233FMF，∴12315sin16FMF，由正弦定理知，12MFF△的外接圆的直径121223215sin4531516FFDFMF，即D错误，故选:D.【变式】1．（2023·河南开封·统考三模）已知点P是椭圆221259xy上一点，椭圆的左、右焦点分别为1F、2F，且121cos3FPF，则12PFF△的面积为（）A．6B．12C．922D．22【答案】C【解析】由椭圆221259xy，得5a，3b，4c.设1PFm，2PFn，∴10mn，在12PFF△中，由余弦定理可得：2222121(2)2cos()223cmnmnFPFmnmnmn，可得8641003mn，得272mn，故122121127192sin122232FPFSmnFPF△.故选：C.2．（2023·全国·统考高考真题）设12,FF为椭圆22:15xCy的两个焦点，点P在C上，若120PFPF，则12PFPF（）A．1B．2C．4D．5【答案】B【解析】方法一：因为120PFPF，所以1290FPF，从而122121tan4512FPFSbPFPF，所以122PFPF．故选：B.方法二：因为120PFPF，所以1290FPF，由椭圆方程可知，25142cc，所以22221212416PFPFFF，又12225PFPFa，平方得：22121212216220PFPFPFPFPFPF，所以122PFPF．故选：B.3．（2023·北京·101中学校考三模）已知11,FF分别是双曲线222:109xyCaa的左右焦点，P是C上的一点，且12216PFPF，则12PFF△的周长是．【答案】34【解析】因为12216PFPF，所以1216,8PFPF，故1216882PFPFa，则4a，又29b，故22225cab，则5c，12210FFc，所以12PFF△的周长为12121681034PFPFFF.故答案为：34.4．（2023·全国·模拟预测）已知1F，2F分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，点P在双曲线上，且123cos5FPF，12FPF△的面积为8，则2F到双曲线的渐近线的距离为.【答案】2【解析】由题意及双曲线的定义知12||||||2PFPFa，则222121242PFPFaPFPF，由余弦定理可得222212121212(2)2coscFFPFPFPFPFFPF，所以2211221cos4PFPFFPFb，因为12123πcos(0,)52FPFFPF，，所以124sin5FPF，2125PFPFb，因为12FPF△的面积为8，所以1212121212sin825FPFSPFPFFPFPFPF△，所以1220PFPF，所以2b，因为点2,0Fc到该双曲线渐近线0bxay的距离为22bcbab，所以点2F到该双曲线渐近线的距离为2.故答案为：2.考法二曲线的标准方程【例2-1】（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线21245,,yxFF分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F，与双曲线的渐近线交于点A，若124FFA，则双曲线的标准方程为（）A．22110xyB．22116yxC．2214yxD．2214xy【答案】C【解析】抛物线245yx的准线方程为5x，则5c，则15,0F、25,0F，不妨设点A为第二象限内的点，联立byxaxc，可得xcbcya，即点,bcAca，因为112AFFF且124FFA，则12FFA△为等腰直角三角形，且112AFFF，即2bcca，可得2ba，所以，22225baccab，解得125abc，因此，双曲线的标准方程为2214yx.故选：C.【例2-2】（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为13，12,AA分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若121BABA，则C的方程为（）A．2211816xyB．22198xy+=C．22132xyD．2212xy【答案】B【解析】因为离心率22113cbeaa，解得2289ba，2289ba，12,AA分别为C的左右顶点，则12,0,,0AaAa，B为上顶点，所以(0,)Bb.所以12(,),(,)BAabBAab，因为121BABA所以221ab，将2289ba代入，解得229,8ab，故椭圆的方程为22198xy+=.故选：B.【例2-3】（2022·全国·统考高考真题）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为．【答案】222313xy或22215xy或224765339xy或2281691525xy．【解析】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为220xyDxEyF，（1）若过0,0，4,0，1,1，则01640110FDFDEF，解得046FDE，所以圆的方程为22460xyxy，即222313xy；（2）若过0,0，4,0，4,2，则01640164420FDFDEF，解得042FDE，所以圆的方程为22420xyxy，即22215xy；（3）若过0,0，4,2，1,1，则0110164420FDEFDEF，解得083143FDE，所以圆的方程为22814033xyxy，即224765339xy；（4）若过1,1，4,0，4,2，则1101640164420DEFDFDEF，解得1651652FDE，所以圆的方程为2216162055xyxy，即2281691525xy；故答案为：222313xy或22215xy或224765339xy或2281691525xy．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设0,04,01,14,2ABCD点，，，（1）若圆过、、ABC三点，圆心在直线2x，设圆心坐标为(2,)a，则2224913,413aaara，所以圆的方程为22(2)(3)13xy；（2）若圆过ABD、、三点，设圆心坐标为(2,)a，则22244(2)1,45aaara，所以圆的方程为22(2)(1)5xy；（3）若圆过ACD、、三点，则线段AC的中垂线方程为1yx，线段AD的中垂线方程为25yx，联立得4765,333xyr，所以圆的方程为224765()()339xy；（4）若圆过BCD、、三点，则线段BD的中垂线方程为1y，线段BC中垂线方程为57yx，联立得813,155xyr，所以圆的方程为228169()1525x-y．故答案为：222313xy或22215xy或224765339xy或2281691525xy．【例2-4】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，ADl于D.若2,60AFDAF，则抛物线C的方程为（）A．28yxB．24yxC．22yxD．2yx【答案】C【解析】如图，连接DF，设准线与x轴交点为M抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为,02pF，准线l：2px又抛物线的定义可得AFAD，又60DAF，所以DAF△为等边三角形，所以2DFAF，60DFM所以在RtDFM中，222DFMFp，则1p，所以抛物线C的方程为22yx.故选：C.【变式】1．（2023·吉林白山·统考模拟预测）若抛物线C的焦点到准线的距离为3，且C的开口朝左，则C的标准方程为（）A．26yxB．26yxC．23yxD．23yx【答案】A【解析】依题意可设C的标准方程为22(0)ypxp，因为C的焦点到准线的距离为3，所以3p，所以C的标准方程为26yx.故选：A2．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知双曲线22221(0,0)xyabab的左顶点与抛物线22(0)ypxp的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为1,1，则双曲线的标准方程为（）A．22122xyB．22144xyC．2214xyD．2212xy【答案】B【解析】双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为1,1，故抛物线的准线方程为=1x，即抛物线焦点为1,0，渐近线方程byxa过1,1，则ab，双曲线的左顶点与抛物线焦点距离是3，则左顶点为2,0，即2a.故双曲线方程为22144xy.故选：B.3（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为1F，2F，延长2BF交椭圆E于点P．若点A到直线2BF的距离为1623，12PFF△的周长为16，则椭圆E的标准