专题13 空间几何（选填题10种考法）（解析版）

专题13空间几何（选填题10种考法）考法一空间几何体的体积与表面积【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）在三棱锥PABC中，ABC是边长为2的等边三角形，2,6PAPBPC，则该棱锥的体积为（）A．1B．3C．2D．3【答案】A【解析】取AB中点E，连接,PECE，如图，ABC是边长为2的等边三角形，2PAPB，,PEABCEAB，又,PECE平面PEC，PECEE，AB平面PEC，又3232PECE，6PC，故222PCPECE，即PECE，所以1113321332BPECAPECPECVVVSAB△，故选：A【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥PABCD的底面是边长为4的正方形，3,45PCPDPCA，则PBC的面积为（）A．22B．32C．42D．62【答案】C【解析】法一：连结,ACBD交于O，连结PO，则O为,ACBD的中点，如图，因为底面ABCD为正方形，4AB，所以42ACBD，则22DOCO，又3PCPD，POOP，所以PDOPCO，则PDOPCO，又3PCPD，42ACBD，所以PDBPCA，则PAPB，在PAC△中，3,42,45PCACPCA，则由余弦定理可得22222cos3292423172PAACPCACPCPCA，故17PA，则17PB，故在PBC中，7,43,1PPBCCB，所以222916171cos22343PCBCPBPCBPCBC，又0πPCB，所以222sin1cos3PCBPCB，所以PBC的面积为1122sin3442223SPCBCPCB.法二：连结,ACBD交于O，连结PO，则O为,ACBD的中点，如图，因为底面ABCD为正方形，4AB，所以42ACBD，在PAC△中，3,45PCPCA，则由余弦定理可得22222cos3292423172PAACPCACPCPCA，故17PA，所以2221793217cos2172173PAPCACAPCPAPC，则17cos173317PAPCPAPCAPC，不妨记,PBmBPD，因为1122POPAPCPBPD，所以22PAPCPBPD，即222222PAPCPAPCPBPDPBPD，则217923923cosmm，整理得26cos110mm①，又在PBD△中，2222cosBDPBPDPBPDBPD，即23296cosmm，则26cos230mm②，两式相加得22340m，故17PBm，故在PBC中，7,43,1PPBCCB，所以222916171cos22343PCBCPBPCBPCBC，又0πPCB，所以222sin1cos3PCBPCB，所以PBC的面积为1122sin3442223SPCBCPCB.故选：C.【例1-3】（2022·全国·统考高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m．时，相应水面的面积为21400km．；水位为海拔1575m．时，相应水面的面积为21800km．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m．上升到1575m．时，增加的水量约为（72.65）（）A．931.010mB．931.210mC．931.410mD．931.610m【答案】C【解析】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V．棱台上底面积262140.014010Skmm，下底面积262180.018010Skmm，∴661211914010180101401801033VhSSSS6799333206071096182.65101.437101.410(m)．故选：C．【例1-4】（2023·河南·校联考模拟预测）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为4dm和2dm，正六棱台与正六棱柱的高分别为1dm和6dm，则该花灯的表面积为（）A．2108303dmB．272303dmC．264243dmD．248243dm【答案】A【解析】正六棱柱的六个侧面面积之和为226672dm，正六棱柱的底面面积为2232663dm4，如图所示，正六棱台111111ABCDEFABCDEF中，112dm,4dmABAB，过点111111,,,,,ABCDEF分别作121212121212,,,,,AABBCCDDEEFF垂直于底面ABCDEF于点222222,,,,,ABCDEF，连接,,ADBECF相交于点O，则222222,,,,,ABCDEF分别为,,,,,OAOBOCODOEOF的中点，过点2A作2AG⊥AB于点G，连接1AG，则1AG为正六棱台的斜高，其中121dmAA，221dm2ABABAG，212dm2AAAO，由勾股定理得22223dmAGAAAG，故2212122dmAGAGAA，所以正六棱台的斜高为2dm，故正六棱台的侧面积为21422636dm2，又正六棱台的下底面面积为22346243dm4，所以该花灯的表面积为2726336243108303dm．故选：A．【变式】1．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，120AOB，若PAB的面积等于934，则该圆锥的体积为（）A．B．6C．3D．36【答案】B【解析】在AOB中，120AOBo，而3OAOB，取AB中点C，连接,OCPC，有,OCABPCAB，如图，30ABO∠，3,232OCABBC，由PAB的面积为934，得193324PC，解得332PC，于是2222333()()622POPCOC，所以圆锥的体积2211ππ(3)66π33VOAPO.故选：B2．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥PABC中，线段PC上的点M满足13PMPC，线段PB上的点N满足23PNPB，则三棱锥PAMN和三棱锥PABC的体积之比为（）A．19B．29C．13D．49【答案】B【解析】如图，分别过,MC作,MMPACCPA,垂足分别为,MC.过B作BB平面PAC，垂足为B，连接PB,过N作NNPB,垂足为N.因为BB平面PAC，BB平面PBB，所以平面PBB平面PAC.又因为平面PBB平面PACPB，NNPB，NN平面PBB，所以NN平面PAC，且//BBNN.在PCC△中，因为,MMPACCPA，所以//MMCC，所以13PMMMPCCC，在PBB△中，因为//BBNN，所以23PNNNPBBB，所以11123231119332PAMPAMNNPAMPABCBPACPACPAMMNNSNNVVVVSBBPACCBB.故选：B3．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A．23B．24C．26D．27【答案】D【解析】该几何体由直三棱柱AFDBHC及直三棱柱DGCAEB组成，作HMCB于M，如图，因为3,120CHBHCHB，所以333,22CMBMHM，因为重叠后的底面为正方形，所以33ABBC,在直棱柱AFDBHC中，AB平面BHC，则ABHM,由ABBCB可得HM平面ADCB，设重叠后的EG与FH交点为,I则132713813333,=3333=322224IBCDAAFDBHCVV则该几何体的体积为8127222742AFDBHCIBCDAVVV.故选：D.4．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A．5B．22C．10D．5104【答案】C【解析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为1r，乙圆锥底面圆半径为2r，则11222SrlrSrlr甲乙，所以122rr，又12222rrll，则121rrl，所以1221,33rlrl，所以甲圆锥的高2214593hlll，乙圆锥的高22212293hlll，所以22112222145393101122393rhllVVrhll甲乙.故选：C.考法二空间几何中的垂直与平行【例2-1】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）设,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若//m，//n，则//mnB．若//m，//m，则//C．若//mn，//m，n，则//nD．若//m，//，则//m【答案】C【解析】作长方体1111ABCDABCD，如下图所示：对于A，若直线m直线11AB，直线n直线11BC，平面平面ABCD，满足//m，//n，此时m与n相交，A错误；对于B，若直线m直线11AB，平面平面ABCD，平面平面11CDDC，满足//m，//m，此时平面ABCD与平面11CDDC相交，B错误；对于C，若//m，则平面内存在直线//lm，又//mn，//ln，l，n，//n，C正确；对于D，若直线m直线11AB，平面平面ABCD，平面平面1111DCBA，满足//m，//，此时m，D错误.故选：C.【例2-2】（2022·全国·统考高考真题）在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别为,ABBC的中点，则（）A．平面1BEF平面1BDDB．平面1BEF平面1ABDC．平面1//BEF平面1AACD．平面1//BEF平面11ACD【答案】A【解析】在正方体1111ABCDABCD中，ACBD且1DD平面ABCD，又EF平面ABCD，所以1EFDD，因为,EF分别为,ABBC的中点，所以EFAC∥，所以EFBD，又1BDDDD，所以EF平面1BDD，又EF平面1BEF，所以平面1BEF平面1BDD，故A正确；选项BCD解法一：如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设2AB，则112,2,2,2,1,0,1,2,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,0BEFBAAC，10,2,2C，则11,1,0,0,1,2EFEB，12,2,0,2,0,2DBDA，1110,0,2,2,2,0,2,2,0,AAACAC设平面1BEF的法向量为111,,mxyz，则有11111020mEFxymEByz，可取2,2,1m，同理可得平面1ABD的法向量为11,1,1n，平面1AAC的法