专题09 数列（选填题8种考法）（解析版）

专题09数列（选填题8种考法）考法一等差等比的基本量运算【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）记nS为等差数列na的前n项和．若264810,45aaaa，则5S（）A．25B．22C．20D．15【答案】C【解析】方法一：设等差数列na的公差为d，首项为1a，依题意可得，2611510aaadad，即135ad,又48113745aaadad，解得：11,2da，所以515455210202Sad．故选：C.方法二：264210aaa，4845aa，所以45a，89a，从而84184aad，于是34514aad，所以53520Sa．故选：C.【例1-2】．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列na的各项均为正数，前n项和nS，若11a，5354SS，则4S（）A．158B．658C．15D．40【答案】C【解析】由题知23421514qqqqqq,即34244qqqq,即32440qqq,即(2)(1)(2)0qqq.由题知0q,所以2q=.所以4124815S.故选:C.【变式】1．（2023·全国·统考高考真题）记nS为等比数列na的前n项和，若45S，6221SS，则8S（）．A．120B．85C．85D．120【答案】C【解析】方法一：设等比数列na的公比为q，首项为1a，若1q，则405S，与题意不符，所以1q；若1q，则611263230SaaS，与题意不符，所以1q；由45S，6221SS可得，41151aqq，6211112111aqaqqq①，由①可得，24121qq，解得：24q，所以8S8411411151168511aqaqqqq．故选：C．方法二：设等比数列na的公比为q，因为45S，6221SS，所以1q，否则40S，从而，2426486,,,SSSSSSS成等比数列，所以有，22225215SSS，解得：21S或254S，当21S时，2426486,,,SSSSSSS，即为81,4,16,21S，易知，82164S，即885S；当254S时，2241234122110SaaaaaaqqS，与45S矛盾，舍去．故选：C．2．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）公差不为0的等差数列na的前n项和为nS，若351Sa，1a，2a，6a成等比数列，则nS（）A．232nnB．22nnC．32nD．2532nn【答案】A【解析】设等差数列na的公差为0dd，由条件得3522161,,Saaaa即1121113341,5,adadadaad则11,3,ad故213322nnnnnSn.故选：A.3（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列na的前n项和为nS，若11S且241424SS，则na（）A．32nB．43nC．54nD．65n【答案】D【解析】设等差数列na的公差为d，由等差数列的求和公式可得112nnnSnad，所以，112nSnadn，所以，24111322222142422SSaddadd，解得6d，因此，1116165naandnn.故选：D.考法二等差等比数列性质【例2-1】（2023·四川成都·模拟预测）已知等差数列na中，17134πaaa，则212tanaa的值为（）A．3B．3C．33D．33【答案】A【解析】在等差数列na中，1137734πaaaa，可得74π3a，因此，21278πππtantan2tantan3πtan3333aaa.故选：A.【例2-2】（2023·广东深圳·统考二模）设等差数列na的前n项和为nS，若1020S，2010S，则30S（）A．0B．10C．30D．40【答案】C【解析】由等差数列{}na的前n项和的性质可得：10S，1200SS，3020SS也成等差数列，20101030202()()SSSSS，302(1020)2010S，解得3030S．故选：C.【例2-3】（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）设nS，nT分别是两个等差数列na，nb的前n项和．若对一切正整数n，231nnSnTn恒成立，66ab（）A．1219B．1117C．914D．57【答案】B【解析】由等差数列的性质，可得661116611122aaaabbbb1111111111112112211211311134172aaSTbb.故选：B【例2-4】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）设等比数列na，3a，7a是方程2540xx的两根，则5a的值是（）A．2或12B．2或12C．2D．12【答案】C【解析】因为3a，7a是方程2540xx的两根，所以374aa，735aa，且3a，7a都是负数，又因为na为等比数列，所以2375aaa，所以52a，且23540aaa，所以52a.故选：C【例2-5】（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知等比数列na的前n项和为nS，若4817SS，则124SS（）A．41B．45C．36D．43【答案】D【解析】设40Sxx，则87Sx，因为na为等比数列，根据等比数列的性质，可得484128,,SSSSS仍成等比数列.因为84476SSxxSx，所以12836SSx，所以1243Sx，故12443SS.故选：D.【变式】1．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）等差数列na中，1472120aaa，则746Sa（）A．60B．30C．10D．0【答案】B【解析】等差数列na中，1472120aaa,44120a即430a,1774444470763662aaSaaaaa.故选：B.2．（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列na的前n项和为nS，3918,3SS，则6S（）A．9B．212C．12D．272【答案】A【解析】由已知3S，63SS，96SS，即3，63S，618S成等差数列，所以6623318SS，所以69S，故选：A．3．（2023·海南·校考模拟预测）已知等差数列na，nb的前n项和分别为nS，nT，若23nnnSnT，则56ab（）A．925B．13C．921D．1125【答案】A【解析】23nnnSnT即23nnSnTn，又等差数列na的前n项和nS形式满足2*,,R,NnSanbnabn，故202323nnSnanaTnann.则2,23nnSanTann，故225546655499252562635253aaSSabTTaa.故选：A4．（2023·重庆·校联考三模）已知na是等差数列，nb是等比数列，若2464πaaa，24633bbb，则1726tan1aabb（）A．3B．33C．33D．3【答案】A【解析】因为na是等差数列，所以246434πaaaa，故44π3a，则1748π23aaa，因为nb是等比数列，所以3246433bbbb，故43b，则22643bbb，所以17262πtantan313aabb.故选：A5．（2023·山西吕梁·统考二模）等比数列na的前n项和为nS，24S，6364S，则4S为（）A．40或36B．36C．40D．32【答案】C【解析】由题意知：2S，42SS，64SS成等比数列，∴24444364SS，解得：440S或436S，∵22224123421221410SaaaaSaqaqSqq，∴440S．故选：C考法三通项【例3-1】（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知数列na的前n项和为nS，若满足43nnSa，则nS（）A．2415nB．2413nC．4313nD．431n【答案】C【解析】当1n时，1143Sa，1143SS，得11S，当2n时，143nnnSSS，1343nnSS，1413nnSS，143(3)3nnSS，又134S，所以{3}nS是首项为4，公比为43的等比数列，所以14343nnS，144433133nnnS.故选：C【例3-2】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知数列na的各项均不为零，且满足11a，111nnnaana（2n，*Nn），则na的通项公式na．【答案】21nn【解析】111nnnaana，则111111nnnnnaaana，设1nnba，1111ba，则1nnbbn，11221111212nnnnnnnbbbbbbbbnn，而11b也符合该式，故12nnnb，故121nnabnn.故答案为：21nn【例3-3】（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）已知数列na各项均为正数，13a，且有123nnaa，则na（）A．121nB．321nC．1421nD．1221n【答案】D【解析】123nnaa，12221nnnnaaaa，显然若20na，则120na，则*Nn，2na，与题意矛盾，所以*Nn，20na，两边同时取倒数，得：1121222nnnnaaaa，设12nnba，11b，112nnbb，1121nnbb，因为1120b，故10nb，故1121nnbb，所以1nb为等比数列，所以11222nnnb，故21nnb，所以1212nna，故1221nna，故选：D.【变式】1．（2023·河南·统考三模）已知数列na的前n项和为nS，11a，122(1)(1)nnnSnSnn，则数列na的通项na．【答案】n【解析】由12211nnSSnn，而1221S，故2{}nSn是以2为首项，1为公差的等差数列，所以22(1)11nSnnn，则(1)2nnnS，又1(1)(1)22nnnnnnnaSSn且2n，显然11a也满足上式，所以nan.故答案为：n2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）数列na满足1nnaa，221nnaa，写出一个符合上述条件的数列na的通项公式.【答案】1nan（答案不唯一）【解析】由221nnaa得：2121nnaa，则当1nan时，1nan，212nan