专题08 切线（选填题12种考法）（解析版）

专题08切线（选填题12种考法）考法一在点：求切线方程【例1】（2023·全国·统考高考真题）曲线e1xyx在点e1,2处的切线方程为（）A．e4yxB．e2yxC．ee44yxD．e3e24yx【答案】C【解析】设曲线e1xyx在点e1,2处的切线方程为e12ykx，因为e1xyx，所以22e1ee11xxxxxyxx，所以1e|4xky所以ee124yx所以曲线e1xyx在点e1,2处的切线方程为ee44yx.故选：C【变式】1．（2021·全国·统考高考真题）曲线2x1yx2在点1,3处的切线方程为．【答案】520xy【解析】由题，当=1x时，=3y，故点在曲线上．求导得：222221522xxyxx，所以1|5xy．故切线方程为520xy．故答案为：520xy．2．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）曲线32618fxxx在点22f,处的切线方程为．【答案】12260xy【解析】322262182f，又2312fxxx，所以223212212f，所以切线方程为2122yx，即12260xy．故答案为:12260xy.3．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数21sinfxaxax是奇函数，则曲线yfx在点0,0处的切线方程为．【答案】yx【解析】由题意函数为奇函数可知22()(1)sin()(1)sinfxaxaxfxaxax所以10a，所以1a，则函数可化为sinfxx，则cos01fxxf，，则由导数得几何意义可知曲线()yfx在点(0，0)处的切线斜率为-1.所以曲线()yfx在点(0,0)处的切线方程为yx故答案为:yx.考法二在点：已知切线求参数【例2-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若直线133yx与曲线3exafx相切，则a．【答案】23【解析】依题意，设切点为030(e,)xax，则0301e33xax，由3exafx，求导得33exafx，于是033e3xa，解得030xa，从而029x，则23a.故答案为：23【例2-2】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知直线ykxb是曲线exfxx在点1,1f处的切线方程，则kb【答案】e【解析】由题设，(1)ef且()(1)exfxx，则(1)2ef，所以，切线方程为e2e(1)yx，即2eeyx，所以2e,ekb，故ekb.故答案为：e【变式】1．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数ln1fxxax（其中aR）在1x处的切线为l，则直线l过定点的坐标为.【答案】0,0【解析】根据题意：函数ln1fxxax在1x处有切线，切点为1,1a，又1fxax，故切线斜率为1a，直线l的方程为1111yaaxyax，该直线过定点的坐标为0,0.故答案为：0,02．（2023·广西·统考模拟预测）若曲线3ln2fxaxxx在1x处的切线与直线470xy相互垂直，则a．【答案】3【解析】已知3ln2fxaxxx，则232afxxx,11fa因为曲线3ln2fxaxxx在1x处的切线与直线470xy相互垂直，所以1114a，解得3a.故答案为：3.3．（2023·广东东莞·东莞实验中学校考一模）已知直线1yax与曲线ln2yax相切，则a.【答案】3【解析】对ln2yax求导，得ayx，设切点为00,xy，则0000012aaxyaxyalnx，解得00123xya，故答案为：3.考点三在点：求参数最值【例3】（2023·浙江·模拟预测）已知直线yaxb与曲线lneyx相切，则ab的最小值为（）A．12B．1C．2D．3【答案】B【解析】由lneyx，知定义域为(0,)，设切点为(,)(,lne)xyxx0000，()eefxxx11，kx01，所以,axxa0011，故切点为e(,ln)aa1，代入直线yaxb方程，则eln,lnabbbaaa11，lnlnln()lnabaaxxxxxx10000001111，令1()lngxxx，22111()xgxxxx，令()0gx，解得1x，当01x时，()0gx，()gx单调递减，当1x时，()0gx，()gx单调递增，则min()(1)1gxg，故ab的最小值为1.故选：B【变式】1．（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线ykxn与曲线n1lyxx相切，则k的取值范围是（）A．1,4B．4,C．4,D．1,4【答案】A【解析】22111111244yxxx，由导数的几何意义可知，14k.故选：A2.（2023秋·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）已知0a，0b，直线2yxa与曲线1e1xyb相切，则12ab的最小值为.【答案】8【解析】设切点为00,xy，因为1exy，所以01e1x，得01x，所以122ab，即21ab，所以，121244222428babaababababab，当且仅当4baab，即11,42ab==时，取最小值，所以12ab的最小值为8.故答案为：8.3．（2023秋·青海西宁·高三统考开学考试）已知直线yaxa与曲线lnyxb相切，则5ab的最小值为（）A．2ln2B．2ln21C．4ln2D．4ln21【答案】A【解析】设切点为0001,ln0,xxbxyx，则0001lnaxxbaxa，解得000111lnaxbxx，所以0000051451lnln1abxxxxx．令4ln1gxxx，所以22144xgxxxx，令0gx，解得4x，令0gx，解得04x，所以gx在0,4上单调递减，在4,上单调递增，所以min()42ln2gxg．故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线lnymxn与直线20xy相切，则mn的最大值为（）A．2e4B．2e2C．2eD．22e【答案】C【解析】设切点为00(,)xy，mymxn，0xx时，0mymxn，0ln()ymxn，切线方程为000ln()()mymxnxxmxn，又切线方程为20xy，即2yx，所以00002ln()mmxnmxmxnmxn，消去0x得ln22mmmn，易知0m，所以2()3ln2mmnmm，令()3ln2mhmmm，则()2ln2lnhmm，当202em时，()0hm，()hm递增，当22em时，()0hm，()hm递减，所以22em时，2max()2ehm，从而mn取得最大值2e．故选：C．考法四过点：求切线方程【例4】（2023春·上海浦东新）已知曲线323fxxx，过点(0,32)M作曲线的切线，则切线的方程为____.【答案】21320xy【解析】设切点坐标为3000(,23)Nxxx，263fxx,则切线的斜率200()63kfxx，故切线方程为20(63)32yxx，又因为点3000(,23)Nxxx在切线上，所以30023xx200(63)32xx，整理得到308x，解得02x，所以切线方程为2132yx．故答案为:21320xy.【变式】1．（2023吉林）已知函数323612fxxxx，则曲线yfx过点0,1的切线方程为______．【答案】610xy或10516160xy【解析】设切点为323,612tttt，2336fxxx，则切线斜率为2336tt，故曲线yfx在xt处的切线方程为3223613362ytttttxt，将点0,1的坐标代入切线方程可得32231613362tttttt，解0t或34t，故所求切线方程为16yx或379105364164yx，即610xy或10516160xy.故答案为：610xy或10516160xy.2．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）过点1,1与曲线ln13e2xfxx相切的直线方程为______．【答案】210xy【解析】设切点坐标为11,xy，13e1xfxx，11113e1xfxx.则切线方程为111113e1xyyxxx，因为1,1在切线上，所以1111113e11xyxx，即1113e12xyx又111ln13e2xyx，所以111ln13e0xxx，令ln13exyxx，131e1xyxx，当1x时，0y，所以ln13exyxx在1,上单调递增，所以方程111ln13e0xxx只有唯一解为10x.即切点坐标为0,1，故所求切线方程为12yx，即210xy.故答案为：210xy3．（2022·全国·统考高考真题）曲线ln||yx过坐标原点的两条切线的方程为，．【答案】1eyx1eyx【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求分0x和0x两种情况，当0x时设切点为00,lnxx，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x，即可求出切线方程，当0x时同理可得；解：因为lnyx，当0x时lnyx，设切点为00,lnxx，由1yx，所以001|xxyx，所以切线方程为0001lnyxxxx，又切线过坐标原点，所以0001lnxxx，解得0ex，所以切线方程为11eeyx，即1eyx；当0x时lnyx，设切点为11,lnxx，由1yx，所以111|xxyx，所以切线方程为1111lnyxxxx，又切线过坐标原点，所以1111lnxxx，解得1ex，所以切线方程为11eeyx，即1eyx；故答案为：1eyx；1eyx[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当0x时lnyx，设切点为00,lnxx，由1yx，所以001|xxyx，所以切线方程为0001lnyxxxx，又切线过坐标原点，所以0001lnxxx，解得0ex，所以切线方程为11eeyx，即1eyx；因为lnyx是偶函数，图象为：所以当0x时的切线，只需找到1ey