专题02 复数（选填题10种考法）（解析版）

专题02复数（选填题10种考法）考法一复数的实部与虚部【例1-1】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若复数z满足1i23iz，则复数z的虚部是（）A．12B．1i2C．52D．52i【答案】C【解析】223i1i23i22i3i3i15i1i1i1i22z，故复数z的虚部是52.故选：C【例1-2】（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知1iiza，若z的虚部等于实部的两倍，则实数a（）A．3B．3C．13D．13【答案】D【解析】因为21iiiii11izaaaaa，又z的虚部等于实部的两倍，所以121aa，解得13a.故选：D【变式】1．（2023·河南·校联考模拟预测）若复数z满足12i105iz，则z的虚部为（）A．3B．3C．3iD．4【答案】B【解析】因为12i105iz，所以2105i12i105i2i12i24ii2i43i12i12i12iz，所以z的虚部为3．故选：B．2．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）若i是虚数单位，则复数2019i23iz的虚部等于（）A．2B．2C．2iD．2i【答案】B【解析】201945043i23ii23ii23i32iz，复数z的虚部等于2．故选：B．3（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知复数1iz，则212zz的实部为（）A．110B．110C．15D．15【答案】A【解析】：因为1iz，所以222(1i)2(1i)24izz，所以21124i24i11i224i(24i)(24i)20105zz，所以212zz的实部为110.故选：A.4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）设aR，若复数20231iia的虚部为3（其中i为虚数单位），则a（）A．13B．3C．13D．3【答案】A【解析】复数20231ii1i1i1i1iiiaaaaaa，因为其虚部为3，所以13a，可得13a.故选：A.考法二共轭复数【例2-2】（2023·陕西西安·统考一模）复数22i()1iz的共轭复数为（）A．2iB．4iC．2iD．4i【答案】C【解析】222i(1i)[]i1)2i(1i)(1i)(z，则2iz，所以复数22i()1iz的共轭复数为2i.故选：C【例2-3】（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知复数z满足2i3i0zz，则z的共轭复数z（）A．1iB．1iC．1i5D．1i5【答案】B【解析】由2i3i0zz，得3i12iz(3i)(12i)(12i)(12i)55i1i5，所以1iz.故选：B【变式】1．（2023·全国·统考高考真题）设252i1iiz，则z（）A．12iB．12iC．2iD．2i【答案】B【解析】由题意可得252i2i2i2i2i112i1ii11ii1z，则12iz.故选：B.2．（2023·全国·统考高考真题）已知1i22iz，则zz（）A．iB．iC．0D．1【答案】A【解析】因为1i1i1i2i1i22i21i1i42z，所以1i2z，即izz．故选：A．3．（2022·全国·统考高考真题）若13iz，则1zzz（）A．13iB．13iC．13i33D．13i33【答案】C【解析】13i,(13i)(13i)134.zzz13i13i1333zzz故选：C考法三相等复数【例3-1】（2023·新疆·统考三模）已知512i1ia，其中aR，i为虚数单位，则a（）A．1B．1C．2D．2【答案】D【解析】512i1ia，则512i1i122iaaa，则12520aa，解得2a，故选：D.【例3-2】（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）若复数z满足22izz，其中i为虚数单位，则z（）A．32iB．23iC．2i3D．2i3【答案】C【解析】设复数izxy，则i,zxyxyR，则2i22i3i2izzxyxyxy，则23x，1y，所以2i3z．故选：C.【变式】1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设ii12iab，其中a，b为实数，则（）A．5a，2bB．5a，2bC．5a，2bD．5a，2b【答案】A【解析】ii12i221iabbb，∴2021bba，2b，5a.故选：A2．（2023·全国·统考高考真题）设R,i1i2,aaa，则a（）A．-1B．0·C．1D．2【答案】C【解析】因为22i1iii21i2aaaaaaa，所以22210aa，解得：1a．故选：C.3．（2022·浙江·统考高考真题）已知,,3i(i)iababR（i为虚数单位），则（）A．1,3abB．1,3abC．1,3abD．1,3ab【答案】B【解析】3i1iab，而,ab为实数，故1,3ab，故选：B.考法四复数的模长【例4-1】（2022·北京·统考高考真题）若复数z满足i34iz，则z（）A．1B．5C．7D．25【答案】B【解析】由题意有34ii34i43iiiiz，故223|54|z．故选：B．【例4-2】．（2023·全国·统考高考真题）232i2i（）A．1B．2C．5D．5【答案】C【解析】由题意可得232i2i212i12i，则22322i2i12i125.故选：C.【变式】1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）若2izz，则iz（）A．1B．2C．2D．5【答案】D【解析】2izz，则21i1iz，有1iz，∴22i12i125z.故选：D2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知111iiz，则z（）.A．2B．22C．2D．1【答案】C【解析】由111i1iiz，得21i2iz，则2iz，所以2z.故选：C.3（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）若复数23202220231iiiiiz，则z（）A．0B．2C．1D．2【答案】A【解析】50620232022202324420241i1i1i0i1i1iiii1i1iz，故选：A考法五在复平面对应的象限【例5-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若复数z满足21i2iz，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】由21i2iz，可得22i34i1i71i1i1i1i22z，所以71i22z，故z在复平面内对应的点71,22位于第一象限.故选：A.【例5-2】（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）复数2i2iaz在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a的范围为（）A．,41,UB．,14,C．1,4D．4,1【答案】C【解析】由2i2i2i422i2i2i2i55aaaaz，复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则4052205aa，解得14a，故选：C．【变式】1．（2023·全国·统考高考真题）在复平面内，13i3i对应的点位于（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】因为213i3i38i3i68i，则所求复数对应的点为6,8，位于第一象限.故选：A.2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知1i3izm在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是（）A．3,1B．1,3C．1,D．,3【答案】A【解析】将1i3izm整理化简可得31izmm，所以复数z在复平面内对应的点坐标为3,1mm，由点位于第四象限可得3010mm，解得31m，所以实数m的取值范围是3,1.故选：A3．（2023·河南开封·统考三模）“3a”是“复数3i2iaz（i为虚数单位）在复平面上对应的点在第四象限”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为623i3i2i5aaaz，又复数z在复平面内所对应的点在第四象限，所以60230aa，解得362a，因此3a是362a必要不充分条件，故选：B考法六复数的分类【例6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若复数1i1iza为纯虚数（Ra），则1z（）A．2B．2C．5D．6【答案】C【解析】由题意，Ra，在1i1iza中，11izaa∵z为纯虚数，∴10,10aa，解得：1a，∴2iz，22112i125z，故选：C．【例6-2】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知aR，复数2iza，22zz是实数，则z（）A．5B．10C．5D．10【答案】C【解析】222222i22i44i22i2444izzaaaaaaaaR，故440a，解得1a，故5z.故选：C【变式】1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）复数22izaaaa为纯虚数，则实数a的值是（）A．-1B．1C．0或-1D．0或1【答案】A【解析】因为复数22izaaaa为纯虚数，所以2200aaaa，解得：1a.故选：A.2．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知i为虚数单位，若3i2i1ia为实数，则实数a（）A．1B．4C．2D．2【答案】B【解析】3i2i1i1i32(6)iaaa[(32)(6)i])(1i)(1i)(1iaa(632)i2(326)aaaa(22)(4)iaa，要使3i2i1ia为实数，需满足40a，所以4a.故选：B.3．（2023·河南·统考三模）复数2i2iaz纯虚数，则实数a的值为（）A．4B．1C．4D．1【答案】C【解析】2i(2i)(2i)(4)2(1)i2i(2i)(2i)5aaaaz为纯虚数，所以4010aa，故4a.故选：C考法七在复数的范围内解方程【例7-1】（2023·山东济南·统考三模）已知复数12,zz是关于x的方程2230xx的两根，则12zz的值为（）A．-3B．-2C．2D．3【答案】D【解析】解法一：由2230xx，得112iz，212iz，所以12(1