专题10 数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)（解析版）

专题10数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)目录一、典型题型......................................................1题型一：插入新数列构成等差......................................1题型二：插入新数列构成等比......................................5题型三：插入新数混合............................................7二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练.................11一、典型题型题型一：插入新数列构成等差例题1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列na的前项和为nS，且满足：*1,NnnaSn(1)求数列na的通项公式；(2)在na与1na之间插入n个数，使这2n个数组成一个公差为nd的等差数列，在数列nd中是否存在三项,,mtkddd（其中,,mkt成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.【答案】(1)12nna(2)不存在，理由见解析【详解】（1）由*1NnnaSn①得2n时111nnaS②①-②得1122nnaan，①中令1n得112a，na是以12为首项，12为公比的等比数列，12nna，（2）1111111221112nnnnnnaadnnn假设存在这样的三项,,mtkddd成等比数列，nd为递增数列，不妨设mkt，则221122111111,(1)21212kmtmktkmtddddddkmt则22211(1)2kk211112mtmt，,,mkt成等差数列，2kmt，22(1)11kmtkmt，由22kmtkmt，得()mt20，所以mtk，与题设矛盾不存在这样的三项,,mtkddd（其中,,mkt成等差数列）成等比数列.例题2．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列na的首项12a，公差8d，在na中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列nb．(1)求数列nb的通项公式．(2)29b是不是数列na的项？若是，它是na的第几项？若不是，说明理由．【答案】(1)2nbn(2)29b是数列na的第8项．【详解】（1）设数列nb的公差为d．由题意可知，11ba，52ba，于是51218bbaa．因为514bbd，所以48d，所以2d．所以2(1)22nbnn．所以数列nb的通项公式是2nbn．（2）数列na的各项依次是数列nb的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列nc，则43ncn．令4329n，解得8n．所以29b是数列na的第8项．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列na和其前n项和nS满足5142342,aaSaaa.(1)求na的通项公式；(2)在ma和1ma+之间插入m个数，使得这2m个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为mb，求满足50mb的正整数m的最小值.【答案】(1)13nna(2)6【详解】（1）依题意，设等比数列na的公比为q，则0q，0na，因为234aaa，所以23111aqaqaq，解得11a或10a（舍去），因为5142aaS，所以41411121aqaqaq，即441121qqq，解得3q或1q（舍去），所以13nna；（2）由题意可得，1113323111mmmmmmaabmmm，则111423232302112mmmmmmbbmmmm，故数列nb单调递增，不难发现455623234862750,50677bb，故满足题意的m的最小值为6.例题4．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知等比数列na的前n项和为nS，*12nnaSnN．(1)求数列na的通项公式；(2)在na与1na之间插入n个数，使这2n个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为nT，若不等式312nnnT对一切*nN恒成立，求实数的取值范围；【答案】(1)*2nnanN(2)31,2【详解】（1）设等比数列na的公比为q，当1n时，有212aa，则112aqa①，当2n时，1122nnnnaSaS，两式相减可得：11nnnnnaaSSa，整理得12nnaa，可知2q=，代入①可得12a，所以等比数列na的通项公式为*2nnanN；（2）由已知在na与1na之间插入n个数，组成以2nna为首项的等差数列，设公差为d，所以111223232222nnnnnnnnnadadnTn则321222nnnnT，设222nnc，则nc是递增数列，当n为偶数时，222n恒成立，即2min23222nc，所以32；当n为奇函数时，222n恒成立，即1min2212nc，所以1；综上所述，的取值范围是31,2．例题5．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列na的前n项和为nS，且22nnSa.(1)求2a及数列na的通项公式；(2)在na与1na之间插入n个数，使得这2n个数依次组成公差为nd的等差数列，求数列1nd的前n项和nT.【答案】(1)24a，2nna，*Nn(2)332nnnT【详解】（1）由题意，当1n时，111222Saa，解得12a，当2n时，2222Sa，即12222aaa，解得24a，当2n时，由22nnSa，可得1122nnSa，两式相减，可得122nnnaaa，整理，得12nnaa，∴数列na是以2为首项，2为公比的等比数列，∴1222nnna，*Nn.（2）由（1）可得，2nna，112nna++=，在na与1na之间插入n个数，使得这2n个数依次组成公差为nd的等差数列，则有11nnnaand，∴1211nnnnaadnn，∴112nnnd，∴1231211123412222nnnnTddd，2311111123122222nnnTnn，两式相减得2112311111121111133221122222222212nnnnnnnnnT，∴332nnnT.题型二：插入新数列构成等比例题1．（2023·全国·高二专题练习）在数列43n中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为na，再在数列na插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列nb.若729kb，则数列nb中第k项前（不含kb）插入的项的和最小为（）A．30B．91C．273D．820【答案】C【详解】因为nb是以1为首项、3为公比的等比数列，所以13nnb，则由13729kkb，得7k，即数列nb中前6项分别为：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是数列43n的项，3、27、243不是数列43n的项，且327243273，所以数列nb中第7项前（不含729）插入的项的和最小为273.故选：C.例题2．（2023·全国·高三专题练习）在1和9之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于.【答案】27【详解】依题意11a，59a，所以2152439aaaaa，所以33a或33a（舍去），所以3234327aaaa.故答案为：27例题3．（2023·高二课时练习）设ab，在a，b之间插入n个实数1x，2x，…，nx，使得这2n个数成等差数列，则有结论1212nabxxxn成立．若0ab，在a，b之间插入n个正数1x，2x，…，nx，使得这2n个数成等比数列，则有相应的结论成立．【答案】12nnxxxab【详解】因为a，1x，2x，…，nx，b成等比数列，则122111nnnnabxxxxxxxx，则212111221nnnnnnxxxxxxaxxxbxx则21112nnxxxab，即12nnxxxab.故答案为：12nnxxxab.例题4．（2023·全国·高二专题练习）回答下面两个问题(1)在等差数列中，已知2d，1510a，求a1与Sn．(2)在2与64中间插入4个数使它们成等比数列，求该数列的通项公式．【答案】(1)138a，239nSnn(2)2nnb【详解】（1）2d，1510a，110142a，解得138a．238139nSnnnnn；（2）设此等比数列nb的公比为q，∴5642q，解得：2q=．1222nnnb例题5．（2023春·福建·高二校联考阶段练习）数列na的前n项和为12,2,4nSaa且当2n时，113,2,2nnnnSSS成等差数列.(1)计算34,aa，猜想数列na的通项公式并加以证明；(2)在na和1na之间插入n个数，使这2n个数组成一个公差为nd的等差数列，在数列nd中是否存在3项,,mkpddd（其中,,mkp成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.【答案】(1)348,16aa，*2nnanN，证明见解析(2)不存在，理由见解析【详解】（1）由题意，*nN，在数列na中，当2n时，113,2,2nnnnSSS成等差数列，∴11324nnnnSSS，即1123nnnnnSSSS，即123nnnaa，即132nnnaa.∴233243328,3216aaaa，猜想*2nnanN.下面我们证明*2nnanN.∵122,4aa，∴12132aa，∵当2n时，132nnnaa，∴对任意正整数n，均有132nnnaa，∴11233232nnnnnnaaa，∴1111232320nnnnnaaa，∴*2nnanN，即数列na的通项公式为：*2nnanN.（2）由题意及（1）得，*nN在数列na中，*2nnanN，∴1211nnnnaadnn.假设数列nd中存在3项,,mkpddd（其中,,mkp成等差数列）成等比数列，则2kmpddd，即2222111kmpkmp，化简得2222(1)11kmpkmp，∵,,mkp成等差数列，∴2mpk，∴211(1)mpk，化简得2kmp，又2mpk，∴22()44mpk