专题01 空间几何体的外接球与内切球问题(典型题型归类训练)(解析版）

专题01空间几何体的外接球与内切球问题(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.........................................................................................................1二、典型题型.........................................................................................................3题型一：内切球等体积法.................................................................................3题型二：内切球独立截面法.............................................................................8题型三：外接球公式法...................................................................................12题型四：外接球补型法...................................................................................13题型五：外接球单面定球心法.......................................................................16题型六：外接球双面定球心法.......................................................................20三、专项训练.......................................................................................................24一、必备秘籍1．球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。类型一球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥PABCD中，内切球为球O，求球半径r.方法如下：PABCDOABCDOPBCOPCDOPADOPABVVVVVV即：1111133333PABCDABCDPBCPCDPADPABVSrSrSrSrSr，可求出r.类型二球的外接问题1、公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2、补形法（补长方体或正方体）①墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CDAB，BCAD，BDAC）3、单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥PABC中，选中底面ABC，确定其外接圆圆心1O（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2sinarA）；②过外心1O做（找）底面ABC的垂线，如图中1PO面ABC,则球心一定在直线（注意不一定在线段1PO上）1PO上；③计算求半径R:在直线1PO上任取一点O如图：则OPOAR，利用公式22211OAOAOO可计算出球半径R.4、双面定球心法（两次单面定球心）如图：在三棱锥PABC中：cab图1CPABabc图2PCBAabc图3CBPAOHBACPO2O1①选定底面ABC，定ABC外接圆圆心1O②选定面PAB，定PAB外接圆圆心2O③分别过1O做面ABC的垂线，和2O做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.二、典型题型题型一：内切球等体积法1．（22·23·全国·专题练习）正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A．1：3B．1：33C．313：D．313：【答案】D【详解】三棱锥扩展为长方体（本题实质上是正方体），它的对角线的长度，就是球的直径，设侧棱长为a，则它的对角线的长度为3a，外接球的半径为32a，再设正三棱锥内切球的半径为r，正三棱锥底面边长为2a，设O是内切球球心，则O到棱锥四个面的距离都等于r，根据三棱锥的体积的两种求法，得22211113[3(2)]32324aaaar，336ra，∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为33316332aa．故选：D．2．（22·23下·朔州·阶段练习）正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为．【答案】1:3:3【详解】设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为,Rr，如图所示，D为AB的中点，SECD，由正四面体的性质可知线段SE为正四面体SABC的高，在正SAB△中，213122SD，同理，在正ABC中，32CD，则1336DECD，1331224ABCS，所以22SESDDE22336263，则11362334312SABCABCVSSE，由正四面体的性质知，三个球的球心重合，且球心O在线段SE上，则63RrOSOESE，1133244334312SABCABCVSrrr，所以612r，故64R，而棱切球与棱AB相切，故其半径为22226321264ODrDE，则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为626::1:3:31244.故答案为：1:3:3.3．（23·24上·萍乡·期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则PAPB的取值范围为.【答案】10,3【详解】如图所示，在边长为1的正四面体CDEF中，设四面体内切球球心为O，内切球半径为r，取EF中点为G，则13142DG,12333DODG,所以116133CO，因为0CDEFOCDEOCDFCEFODEFVVVVV，所以1111433DEFDEFSCOSOO△△，所以1612OOr，因为点P为正四面体表面上的一个动点，所以rPOCO，即16361244POCO，因为2OPAPBPOPOPOPOAOBOOPOOAOBAB,因为AB为球O的一条直径，所以OAOB,所以222124PPOOAOOPOOAAPO，因为66124PO，所以213248PO，所以2110243PO，故答案为:10,3.4．（22·23上·张家口·期中）球O为正四面体ABCD的内切球，4AB，PQ是球O的直径，点M在正四面体ABCD的表面运动，则MPMQ的最大值为．【答案】163/153【详解】如图，E为BC中点，F为ABC中心，DF∴平面ABC，ODF设球O的半径为r，rOF，正四面体ABCD中，易求得4323,,3AEAF所以正四面体ABCD的高为224346433DF，所以根据体积公式4OABCDABCVV得：2213134644434343r，解得63r，因为点M在正四面体ABCD的表面运动，所以max466633MO，所以22MPMQMOOPMOOQMOOP22616633．故答案为：163．5．（22·23上·河南·阶段练习）已知正四面体ABCD的棱长为12，球O内切于正四面体,,ABCDEF是球O上关于球心O对称的两个点，则AEBF的最大值为.【答案】12624【详解】设点E在平面ABC内的射影为E，点F在平面ABC内的射影为F，点O在平面ABC内的射影为O，如图1.因为正四面体ABCD的棱长为12，所以2'223343,46,36334ABCAOABDOADAOSAB.设球O的半径为R.因为ABCDOABCOABDOBCDOACDVVVVV，所以11433ABCABCSDOSR，则164RDO.AEBFAEEEBFFFAEBFEEFF222622EEFFREEFFEEFF„，当且仅当EEFF时，等号成立.过点E作EMAB，垂足为M，过点F作FNAB，垂足为N，过点O作OPAB，垂足为P，如图2.圆O的半径为,,REF是关于点O对称的两个点，且OER„.AEBFAMMEBNNFAMBNMENF.211(66)22AMBNAMBNABRABR„，当且仅当直线,NFME与圆O相切时，等号成立.2222(23)1222MENFPOMENFMENF„，当且仅当MENF时，等号成立.因为以上取等条件可以同时成立，所以26(66)1212624AEBF„.6．（22·23上·扬州·期中）中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为．【答案】462/162【详解】如图，ABCD为正方形，设PD垂直于平面ABCD，由题4PD，3AB，因为PDAB，ADAB，所以AB平面ADP，所以ABAP，ABP为直角三角形，由题，5AP，四棱锥表面积33343536S，体积2134123V，设内切球半径为r，则13SrV，得31VrS，内切球表面积为244r；以DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，因为内切球半径1r，所以内切球球心11,1,1O，因为该四棱锥可以补全为棱长分别为3，3，4的长方体，所以外接球球心233,,222O，两点间距离221236121222OO.故答案为：4；62题型二：内切球独立截面法1．（23·24上·淮安·开学考试）球M是圆锥SO的内切球，若球M的半径为1，则圆锥SO体积的最小值为（）A．4π3B．42π3C．8π3D．4π【答案】C【详解】如下图所示：取圆锥SO的轴截面SAB△，设π02ASO，则1sinSM，则11sinSOSMOM，则11sintan1tansincosAOSO，所以，该圆锥的体积为32221sin111sin1sin1πππ33cossin3sin1sinfAOSO2π1sin3sin1sin，令sin0,1t，令211thttt，其中01t，则1311tthttt，当103t时，0ht，此时函数ht单调递减，当113t时，0ht，此时函数ht单调递增，所以，当1sin3时，f取最小值，即2min4π83π123333f