专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）(典型题型归类训练)（解析版）

专题09数列求和（通项含绝对值数列求和）(典型题型归类训练)目录一、典型题型......................................................1题型一：通项含绝对值............................................1题型二：通项含取整函数..........................................3题型三：通项含自定义符号........................................4二、专题09数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练................5一、典型题型题型一：通项含绝对值如：求|211|nan的前n项和nT例题1．（2023·福建宁德·校考二模）已知nS为等差数列na的前n项和，63219SS，1121a．(1)求数列na的通项公式；(2)设1(2)1000nnab，求数列nb的前15项和15T．【答案】(1)21nan(2)66490【详解】（1）设等差数列na的公差为d，163633232121211111636332921212aaSaaaaSaa，且1121a，3263a，321123211aad，111101aad，1(1)21naandn．（2）由（1）可知10002,19,2100021000,1015,nnnnnbn其中*nN．故nb的前15项和为1291015151000210002100022100021000T1291011153000222222191062122123000664901212．例题2．（2023春·广东深圳·高二深圳第三高中校考期中）设等差数列na的前n项和为nS，2612aa，3532aa，且nS有最小值.(1)求数列na的通项公式na及前n项和nS；(2)设数列na的前n项和为nT，求nT.【答案】(1)214nan；213nSnn(2)2*2*13,7,N1384,8,NnnnnnTnnnn【详解】（1）因na为等差数列，故263512aaaa，又因3532aa，所以3548aa或3584aa，当3548aa时，na的公差为5322aad，1320aad，此时()2112nnnSnadnn-=+=-+有最大值，无最小值不符合题意舍去，当3584aa时，na的公差为5322aad，13212aad=-=-，此时()211132nnnSnadnn-=+=-，有最小值满足题意，()11214naandn=+-=-，综上214nan，213nSnn.（2）当*7,NnnＮ时，nnaa，此时21213nnnTaaaSnn=----=-=-+L，当*8,Nnn时nnaa，此时12789nnTaaaaaa=----++++LL77nTSS=+-()2227137137137nn=-+?---?21384nn=-+，故2*2*13,7,N1384,8,NnnnnnTnnnn题型二：通项含取整函数如：求1[]2nna的前n项和nT例题1．（2023·全国·高三专题练习）nS为等差数列na的前n项和，且17=128.aS，记=lgnnba，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0lg99=1，.（Ⅰ）求111101,,bbb；（Ⅱ）求数列nb的前1000项和.【答案】（Ⅰ）1111010,1,2.bbb（Ⅱ）1893.试题解析：（Ⅰ）设{}na的公差为d，据已知有72128d，解得1.d所以{}na的通项公式为.nan111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101]2.bbb（Ⅱ）因为0,110,1,10100,{2,1001000,3,1000.nnnbnn所以数列{}nb的前1000项和为1902900311893.例题2．（2023·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）已知正项数列na的前n项和为nS，且222220nnSnnSnn.(1)求数列na的通项公式；(2)若lgnnba（其中x表示不超过x的最大整数），求数列nb的前100项的和100T.【答案】(1)2nan(2)147【详解】（1）因为222220nnSnnSnn，所以220nnSSnn又因为na为正项数列,所以0nS,可得2+nSnn当1n时，112aS，当2n时，221112nnnaSSnnnnn，将1n代入上式验证显然适合，所以2nan.（2）已知lgnnba,因为510a，50100a，5001000a，所以0,141,5492,50100nnbnn，所以10004145251147T.题型三：通项含自定义符号如：记x表示x的个位数字，如20222,20233求12121nann的前n项和nT例题1．（2020秋·广东广州·高二西关外国语学校校考期中）设nS为数列na的前n项和，2nSn.数列nb前n项和为nT且4833nnTb.数列nc满足2lognncb.（1）求数列na和nc的通项公式；（2）记n表示n的个位数字，如20188，求数列1nnac的前30项的和.【答案】（1）21nan；21ncn；（2）103.【详解】解：（1）111aS.2n时，221(1)21nnnaSSnnn，11a符合上式.∴21nan.又1114833bTb，18b，而当2n时，114433nnnnnbTTbb，14nnbb，因为180b，故0nb，因此14nnbb，所以数列nb为等比数列，故121842nnnb，故2log21nncbn.（2）由（1）得21nan，21ncn，因为,nnac表示,nnac的个位数，因此,nnac均为周期数列，且周期为5.将数列1nnac中每5个一组，前30项和可分为6组，其前30项的和30Q为301111161335577991Q1111111116123355779911161299103.例题2．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）设nS为数列na的前n项和，2nSn，数列nb满足231,2nnbabb.(1)求na及nb；(2)记n表示n的个位数字，如61744，求数列1nnab的前20项和.【答案】(1)21nan，21nbn；(2)209【详解】（1）当2n时，121nnnaSSn，由于111aS也满足21nan，则21nan.235ba，12nnbb+-=，13b，nb是首项为3，公差为2的等差数列，21nbn.（2）21nan，na的前5项依次为1，3，5，7，9.21nbn，nb的前5项依次为3，5，7，9，1.易知，数列na与nb的周期均为5，1nnab的前20项和为1111141335577991111111111181204142335577992999.二、专题09数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练一、单选题1．（2023秋·江苏·高二专题练习）设数列na满足12a，26a，且*2122nnnaaanN，若x表示不超过x的最大整数（例如1.61，1.62），则222122018232019aaaL＝（）A．2018B．2019C．2020D．2021【答案】B【详解】2122nnnaaa，2112nnnnaaaa，214aa．1nnaa是等差数列，首项为4，公差为2．142(1)22nnaann．2n时，112211nnnnnaaaaaaaa(1)22(1)..2222(1)2nnnnnn．2(1)1nnnan．当2n时，2(1)11nnnan．222122018232019220172019aaaL.故选：B．2．（2023·全国·高三专题练习）正项数列na满足：1212nnnnnnaaaaaa，136aa，若前三项构成等比数列且满足123aaa，nS为数列na的前n项和，则2020S的值为（）（x表示不超过x的最大整数）.A．4040B．4041C．5384D．5385【答案】C【详解】依题意212312313213,6,aaaaaaaaaaa，3226aa，即2222110aa，解得22a.则131364aaaa，结合123aaa，解得1335,35aa.依题意234234435aaaaaaa，34534552aaaaaaa，456456635aaaaaaa，所以数列na是周期为3的周期数列，1238aaa，20206733116738538435SSa，52.236，所以20205384S.故选：C二、填空题3．（2023·全国·高三对口高考）已知na的前n项和241nSnn，则1210aaa.【答案】67【详解】当1n时，21114112aS，当2n时，22141141125,nnnaSSnnnnn取1n时，12153a，此式不满足1a，故na的通项公式为2,125,2nnann，根据通项公式知，1234100aaaaa.所以12101234101022aaaaaaaaSS210410122161667.故答案为：67.三、双空题4．（2023·全国·高三专题练习）对于数列na，如果存在最小的一个常数TTN，使得对任意的正整数恒有nTnaa成立，则称数列na是周期为T的周期数列.设,,,,mqTrmqTrN，数列前,,mTr项的和分别记为,,mTrSSS，则,,mTrSSS三者的关系式；已知数列na的通项公式为|13|nan，那么满足119102kkkaaa的正整数k=.【答案】mTrSqSS2k或5k【详解】(1)因为数列na是周期为T的周期数列，mqTr，则121221(1)2(1)()()()mTTTTqTqTqTSaaaaaaaaa12