专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）(典型题型归类训练)（解析版）

专题08数列求和（奇偶项讨论求和）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍......................................................1二、典型题型......................................................2题型一：求nnnancbn为奇数为偶数的前2n项和2nT............................2题型二：求nnnancbn为奇数为偶数的前n项和nT.............................5题型三：通项含有(1)n的类型；例如：(1)nnnca.....................10题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题.................13三、专题08数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练.....................17一、必备秘籍有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决．类型一：通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：nnnancbn为奇数为偶数角度1：求nnnancbn为奇数为偶数的前2n项和2nT角度2：求nnnancbn为奇数为偶数的前n项和nT类型二：通项含有(1)n的类型；例如：(1)nnnca类型三：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题二、典型题型题型一：求nnnancbn为奇数为偶数的前2n项和2nT例题1．（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知nS为等差数列na的前n项和，11a，32236SS．(1)求na的通项公式；(2)若3,2,nnananbnn是奇数是偶数，求数列nb的前2n项和2nT．【答案】(1)*23,Nnann(2)*12262482,39NnnnTnnn【详解】（1）设na的公差为d．∵32236SS，∴3223131162dd，解得2d．∴*12123,Nnannn．（2）当n为奇数时，23nnban，当n为偶数时，2nnbn．∴21321242nnnTbbbbbb23134524446424nnn23145244464242nnnn2232324446424nnnn设2324446424nnAn，①则2341424446424nnAn，②①②，得2341324444424nnnAn124142414nnn126483nn∴162489nnnA．故*12262482,39NnnnTnnn．例题2．（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）数列na满足116nnnaa，12Nan．(1)求na的通项公式；(2)设1,,nnnanbbnn为奇数为偶数，求数列nb的前2n项和2nS．【答案】(1)212nna(2)4161115nnn【详解】（1）∵116nnnaa，12a，则28a，∴11216nnnaa，两式相除得：216nnaa，当21nk时，1357211352316kkkaaaaaaaa，∴324112162kkka，即212nna，当2nk时，168242462216kkkaaaaaaaa，∴12412816kkka，即212nna，综上所述，na的通项公式为：212nna；（2）由题设及（1）可知：2112,,nnnnbbnn为奇数为偶数，2123421213521242nnnnnSbbbbbbbbbbbbbLLL13521135212462nnbbbbbbbbn1352122462nbbbbn15943222222462nn211641612221116215nnnnnn例题3．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知等差数列na的前n项和为nS，且满足52215aa，981S．(1)求数列na的通项公式；(2)若数列nb满足,2,nnnanbn为奇数为偶数，求数列nb的前2n项和2nT．【答案】(1)21nan(2)124423nnn【详解】（1）依题意，设数列na的公差为d，因为981S，所以59199812aaa，则59a，因为52215aa，即21815a，所以23a，所以52932523aad，121aad，所以112nan，即21nan．（2）因为,2,nnnanbn为奇数为偶数，所以21,2,nnnnbn为奇数为偶数，所以24221252432nnTn2421543222nn2122141434422143nnnnnn．例题4．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知数列na满足11a，12,21,N2,2,Nnnnankkaankk.(1)记2nnba，求证：数列2nb是等比数列；(2)若12nnTaaa，求2nT.【答案】(1)证明见解析(2)1252610nnTn【详解】（1）因为11a，所以2123aa，故123ba，故12225ba，当2n时，221221211221222222nnnnnnnbaaaaab，故1222nnbb，所以数列2nb是首项为5，公比为2的等比数列；（2）由（1）知：1522nnb，故1522nnb，其中41321224221222222nnnnnnaaaaaaaaabbb，故212213212421222nnnnnTaaaaaaaaabbbn，设112512225225nnnnSbbbnn，故122252610nnnTSnn.题型二：求nnnancbn为奇数为偶数的前n项和nT例题1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知数列,nnab满足11111,2,2nnnnababba.(1)求,nnab的通项公式；(2)设数列nc满足,,,.nnnnnnnaabcbab求nc的前n项和nS.【答案】(1)1222322,21,N522,2,Nnnnnkkankk,122524,21,N324,2,Nnnnnkkbnkk；(2)12321,13,211229,3,21,N229,4,2,NnnnnnSnnnkknnnkk.【详解】（1）根据题意可知212123,22abba，212222,222.nnnnnabaaa所以222.2nnaa当n为奇数时，121222nnaa，即12322nna，所以当n为偶数时，212324nnnba；当n为偶数时，222222nnaa，即22522nna，所以当n为奇数时，1212524nnnba.综上，1222322,21,N522,2,Nnnnnkkankk,122524,21,N324,2,Nnnnnkkbnkk.（2）由（1）可知当n为奇数时，若nnab，即1122322524nn，解得1n，当n为偶数时，若nnab，即222522324nn，解得4n，所以11122,cabcb，当3n时，nnca，所以111212121,3ScaSccab.当3n时，且n为奇数时，21212nnSSaaaaa31223001123(322522322522322522322)4nnn11223320121223[8(222)322]48322112nnnnnn1112228(21)321211229nnnnn当4n时，且n为偶数时，3221212229nnnSSaaaaan222001123(322522322522322522)4nn2220121223[8(222)2]482112nnnn322=8(21)21229nnnn.综上，12321,13,211229,3,21,N229,4,2,NnnnnnSnnnkknnnkk例题2．（2023·全国·高三专题练习）在数列na中，12a，28a，且对任意的*Nn，都有2144nnnaaa.(1)证明：12nnaa是等比数列，并求出na的通项公式；(2)若**2,21,Nlog,2,Nnnnnnkkabnnkka，求数列nb的前n项和nT.【答案】(1)证明见解析，2nnan；(2)2*2*1111,21,N3241212,2,N32423nnnnnkkTnnnkk.【详解】（1）证明：因为12a，28a，所以2128224aa.因为2144nnnaaa，所以211222nnnnaaaa，又21240aa，则有120nnaaNn，所以211222nnnnaaaa，所以12nnaa是以4为首项，2为公比的等比数列.所以1112422nnnnaa，所以11122nnnnaa，又112a，所以2nna是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1112nnann，所以2nnan.（2）由（1）知**2,21,Nlog,2,Nnnnnnkkabnnkka**1,21,N2,2,Nnnkknnkk，则nb的奇数项为以112b为首项，14为公比的等比数列；偶数项是以22b，2为公差的等差数列.所以当n为偶数，且2n时，13124nnnTbbbbbb