专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）(典型题型归类训练)（解析版）

专题05数列求和（倒序相加法、分组求和法）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.........................................................................................................1二、典型题型.........................................................................................................2题型一：倒序相加法........................................................................................2题型二：通项为nnncab型求和.....................................................................4题型三：通项为nnnancbn为奇数为偶数型求和..........................................................7三、专题05数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练.........................12一、必备秘籍1、倒序相加法，即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.2、分组求和法2.1如果一个数列可写成nnncab的形式，而数列na，nb是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.2.2如果一个数列可写成nnnancbn为奇数为偶数的形式，在求和时可以使用分组求和法.二、典型题型题型一：倒序相加法例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数393xfx．(1)求证：函数fx的图象关于点11,22对称；(2)求20222021020222023Sfffff的值．【答案】(1)证明见解析(2)2023S【详解】（1）因为393xfx，所以1339919393993xxxxxfx，所以11fxfx，即函数fx的图象关于点11,22对称.（2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和.因为20222021Sff0(1)20222023ffff，所以20232022(020211)Sfffff2022f（倒序），又由（1）得11fxfx，所以24046S，所以2023S.例题2．（2023秋·江苏·高二专题练习）设函数11lnxfxx，设11a，1231,2nnaffffnnnnnnNL．(1)计算1fxfx的值．(2)求数列na的通项公式．【答案】(1)2(2)1,11,2nnann【详解】（1）1()(1)1ln1ln21xxfxfxxx；（2）由题知，当2n时，1231nnaffffnnnnL，又121nnnafffnnn，两式相加得1122112nnnnaffffffnnnnnn21n，所以1nan，又11a不符合1nan，所以1,11,2nnann.例题3．（2023·全国·高二专题练习）设1122,,,AxyBxy是函数21log21xfxx的图象上任意两点，且1()2OMOAOB，已知点M的横坐标为12．(1)求证：M点的纵坐标为定值；(2)若*121...,,nnSfffnNnnn且2n求nS；【答案】(1)证明见解析；(2)*1(2,N)2nnSnn.【详解】（1）证明：设(,)Mxy，因为1()2OMOAOB，故可得1212,22xxyyxy，由12x知121xx，故12211,1xxxx，故12122222121212211loglog1loglog11122222xxxxfxfxyyxxxxy.故M点的纵坐标为定值12.（2）由（1）知12121,()()1xxfxfx121()()()nnSfffnnn121()()()nnnSfffnnn，两式相加得：11221121nnnnSffffffnnnnnnn，故*12,N2nnSnn.例题4．（2023秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）已知函数fx满足12fxfx，若数列na满足：11(0)(1)nnaffffnn.(1)求数列na的通项公式；【答案】(1)1nan，*nN；【详解】（1）因为()(1)2fxfx,由11(0)(1)nnaffffnn①,则11(1)(0)nnaffffnn②,所以①②可得：112[(0)(1)][(1)(0)]2(1)nnaffffffnnnL，故1nan，*nN.例题5．（2023·全国·高二专题练习）已知na为等比数列，且120211aa，若221fxx，求1232021fafafafa的值．【答案】2021【详解】因为na为等比数列，120211aa，所以2202032019101110111aaaaaa，因为221fxx，所以211202122221202111212122222111111afafaaaaaa，同理可得2202032019101110112fafafafafafa，所以1232021fafafafa1202122020202111122021202122fafafafafafa题型二：通项为nnncab型求和例题1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知等差数列na的前n项和为nS，等比数列nb的各项均为正数，且满足111ab，535S，65ab.(1)求数列na与nb的通项公式；(2)记2nnncab，求数列nc的前n项和nT.【答案】(1)32nan，12nnb(2)21312222nnTnn【详解】（1）记等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，则由题可得，51411115103551Sadadbqab，解得23,4dq，又等比数列nb的各项均为正数，所以0q，所以2q=，所以13132nann，12nnb.（2）由（1）可得，322nncn，所以23124272322nnTn23147322222nn21213212nnnn21312222nnn例题2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考阶段练习）已知各项均为正数的等差数列na的首项11a，2a，4a，62a成等比数列；(1)求数列na的通项公式；(2)若33nannba，求数列nb的前n项和nT．【答案】(1)nan；(2)1233332nnnnT【详解】（1）解：设等差数列na的公差为(0)dd，又因为2a，4a，62a成等比数列，所以2426(2)aaa，即2111(3)()(52)adadad，整理得：2120dda，又因为11a，解得1d或12d(舍)则有1(1)naandn，所以数列na的通项公式为nan；（2）解：因为nan，所以3333nannnban，所以23333(12)nnTn3(13)(1)3132nnn1233332nnn.所以1233332nnnnT.例题3．（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知等比数列na中，22a，516a(1)求数列na的通项公式；(2)若21nnban，求数列nb的前n项和nS.【答案】(1)12nna(2)2212nnSnn【详解】（1）设公比是q，则3521682aqa，2q=，因此211aaq，所以12nna；（2）由（1）12(21)nnbn，1(122)[35(21)]nnSn212(321)212122nnnnnn．例题4．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知等差数列na，nS为其前n项和，510a，756S．(1)求数列na的通项公式；(2)若13nannba，求数列nb的前n项和．【答案】(1)2nan(2)23(91)8nnn【详解】（1）设等差数列na的公差为d，则1111410410,7215638adadadad，解得12ad，所以2nan.（2）1211232339nnnannnban，数列139n是首项为3，公比为9的等比数列，所以数列nb的前n项和为2319222193(91)8nnnnnn.例题5．（2023秋·山东济南·高三统考开学考试）等差数列na满足55a，178aa，正项等比数列nb满足22ba，4b是1a和64a的等比中项．(1)求na和nb的通项公式；(2)记nnncab，求数列nc的前n项和nS．【答案】(1)nan，12nnb；(2)2212nnnnS【详解】（1）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为0qq，由题意可得：5117145268aadaaad，解得，11ad，所以，11naandn；又0nb且222ba，41648baa，所以422bqb，所以2122nnnbbq．（2）因为12nnnncabn，所以01211222322nnSn01211232222nn022121212122nnnnnn.题型三：通项为nnnancbn为奇数为偶数型求和例题1．（2023·海南·统考模拟预测）在①2514,,aaa成等比数列，且21441nnSan；②2132aaa，数列nS是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知各项均是正数的数列na