专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）(典型题型归类训练)（解析版）

专题04数列求通项（隔项等差（等比）数列）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.........................................................................................................1二、典型题型.........................................................................................................2题型一：隔项等差数列.....................................................................................2题型二：隔项等比数列.....................................................................................3三、专题04数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练...........................5一、必备秘籍1、隔项等差数列已知数列{}na，满足1()(1)nnaafn，则21(1)(2)nnaafn；1(1)(3)nnaafn2(2)(1):nnaad（其中d为常数）；或11(1)(3):(2)nnaadn则称数列{}na为隔项等差数列，其中：①1357,,,aaaa构成以1a为首项的等差数列，公差为d；②2468,,,aaaa构成以2a为首项的等差数列，公差为d；2、隔项等比数列已知数列{}na，满足1()(1)nnaafn，则21(1)(2)nnaafn；1(1)(3)nnaafn2(2):(1)nnaqa（其中q为常数）；或11(1):(2)(3)nnaqna则称数列{}na为隔项等比数列，其中：①1357,,,aaaa构成以1a为首项的等比数列，公比为q；②2468,,,aaaa构成以2a为首项的等比数列，公比为q；二、典型题型题型一：隔项等差数列例题1．（2023春·江苏南京·高二校考期中）已知数列{}na满足11a，14nnaan.(1)求数列{}na的前100项和100S；(2)求数列{}na的通项公式.【答案】(1)10000(2)an＝2n－1【详解】（1）∵a1＝1，an＋1＋an＝4n，∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)＝4×502＝10000.（2）an＋1＋an＝4n，①an＋2＋an＋1＝4(n＋1)，②由②－①得，an＋2－an＝4，由a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3.当n为奇数时，1114212nnaan，当n为偶数时，214212nnaan，综上所述，21nan.例题2．（2020·高二单元测试）数列{}na满足11a，12nnaan，求na.【答案】,nann为奇数，1,nann为偶数【详解】由12nnaan，得2+12(1)nnaan，两式作差得2+2nnaa，即2=2nnaa又1211,21aaa∴数列{an}的所有奇数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列，偶数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列.则当n为奇数时，112(1)2nnan；当n为偶数时，12(1)12nnan.∴.,nann为奇数，1,nann为偶数例题3．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知数列na，nb，11a，1143nnnaa，2*32lognannbanN．(1)求证：数列na是等比数列，并求数列na的前n项和nS；【答案】(1)证明见解析；11322nnS(2)111313nnTn【详解】（1）因为1143nnnaa，所以1143nnnaa，当1n时，021433aa当2n时，2143nnnaa所以12211434383nnnnnaa则当n为偶数时，1353426486283,83,83,,83nnnaaaaaaaa累加得：132112283833248333138nnnnaa，所以13nna当n为奇数时，1n为偶数，则13nna，则此时1111114334343333nnnnnnnnaa，综上可得13nna所以11333nnnnaa，则数列na是以11a为首项，3q为公比的等比数列，其前n项和11331131322nnnS题型二：隔项等比数列例题1．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知数列na满足25111,24nnnaaa．(1)求na的通项公式；【答案】(1)32nna【详解】（1）2512nnnaa，23122nnnaa，两式相比得24nnaa．31121,240aaa，2102a．数列21na是以14为首项，4为公比的等比数列；数列2na是以12为首项，4为公比的等比数列．21311232121142,4242nnnnnnaa．综上，na的通项公式为32nna．例题2．（2023春·福建福州·高二校考期中）在数列na中，已知11a，112nnnaa，记nS为na的前n项和，221nnnbaa，*nN．(1)判断数列nb是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列na的通项公式．【答案】(1)是等比数列，32nnb(2)1221,21,2nnnnan为奇数为偶数【详解】（1）因为112nnnaa，所以11212nnnaa，所以2211,22nnnnaaaa，又11211,2aaa，所以212a，因为221nnnbaa，所以22112221221221111222nnnnnnnnnnaabaabaaaa，所以nb是以12132baa为首项，公比为12的等比数列，所以1313222nnnb.（2）由（1）知212nnaa，所以135,,,aaa是以11a为首项，12为公比的等比数列；246,,,aaa是以212a为首项，公比为12的等比数列，所以1221,21,2nnnnan为奇数为偶数.例题3．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）在数列na中，364a，且4212nnnaa．(1)证明：2na，21na都是等比数列．(2)求na的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)4nna【详解】（1）证明：因为364a，且4212nnnaa，所以10221664a，612416a．因为4121224212162nnnnnnnnaaaaaa，故216nnaa，所以22216nnaa，212116nnaa，则2na，21na都是公比为16的等比数列．（2）由（1）知2na，21na都是公比为16的等比数列，所以11222161616164nnnnnaa，1121211164164nnnnaa，故对任意的N,4nnna三、专题04数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练一、单选题1．（2023春·河南驻马店·高二统考期中）已知数列na满足111,2N,nnnnaaanS是数列na的前n项和，则2023S（）A．202321B．101323C．1013321D．2023322【答案】B【详解】由题设2122aaa，且1212nnnaa，所以1211222nnnnnnaaaa，即22nnaa，当21nk且*Nk时，na是首项为1，公比为2的等比数列，则1212kka；当2nk且*Nk时，na是首项为2，公比为2的等比数列，则22kka；2023132023242022(...)(...)Saaaaaa101210111013122(12)231212.故选：B二、多选题2．（2023春·广东韶关·高二统考期末）已知数列{}na满足11a，14nnaan，则（）A．20234045aB．nS是{}na的前n项和，则10020000SC．当n为偶数时21nanD．na的通项公式是21nan【答案】AD【详解】数列na满足11a，14nnaan，因为11a，14nnaan，所以，100123499100Saaaaaa4199504143499413599100002，B错；由题意，14nnaan①，2141nnaan②，由②①得，24nnaa，由11a，124aa，所以23a，当n为奇数时，设21nkkN，则14114443221121naakkkkn，当n为偶数时，设2nkkN，则2413444121naakkkn，综上所述，对任意的nN，21nan，C错D对；20232202314045a，A对.故选：AD.三、解答题3．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知nS为数列na的前n项和，11a，21(1)nnSSn．(1)证明：121nnaan．(2)求na的通项公式．【答案】(1)证明见解析；(2)nan；【详解】（1）当1n时，214SS，则2124aa，而11a，则22a，当2n时，由21(1)nnSSn，得21nnSSn，两式相减得121nnaan，又123211aa，满足上式，所以当*Nn时，121nnaan．（2）2211(23)(21)2nnnnnnaaaaaann，因此na的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，2112(1)21naann，na的偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列，222(1)2naann，于是nan，所以na的通项公式是nan．4．（2023春·四川德阳·高二统考期末）已知正项等比数列na对任意的*nN均满足2112nnnaa．(1)求na的通项公式；【答案】(1)2nna【详解】（1）设公比为0qq，由2112nnnaa，得当2n时，2112nnnaa，两式相除得2114nnaqa，所以2q=，又3122aa，则2128a，所以12a（12a舍去），所以1222nnna；5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}na满足：*1113,2nnnaaanN，求此数列的通项公式.【答案】12*12*13,21,N211,2,N62nnnnkkankk.【详解】在数列