专题06 解三角形（周长（边长）问题（含定值，最值，范围问题））(典型题型归类训练)（解析版）

专题06解三角形（周长（边长）问题（含定值，最值，范围问题））(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍......................................................1二、典型题型......................................................1题型一：定值问题...............................................1题型二：最值值问题..............................................6题型三：范围问题..............................................13三、专项训练.....................................................21一、必备秘籍核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形）利用基本不等式2abab，在结合余弦定理求周长取值范围；核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形）利用正弦定理2sinaRA，2sinbRB，代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.二、典型题型题型一：定值问题1．（2023·陕西西安·校考一模）在ABC中，角,,ABC的对边长分别为,,abc，且sinsin2sinsinaAcCaCbB.(1)求B；(2)若ABC的面积为212，4b，求ABC的周长.【答案】(1)3π4B(2)432【详解】（1）因为sinsin2sinsinaAcCaCbB，所以由正弦定理得2222acacb，所以2222cos22acbBac，因为0πB，所以3π4B.（2）因为11221sin2222ABCSacBac!，所以22ac，由（1）知，2222acacb，所以22()224acacac，所以2()16(22)acac，所以2()16(22)(22)18ac，所以ac32，所以ABC的周长为432bac.2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在ABC中，33ABACBC，点D在AB延长线上，且52ADBD．(1)求sinsinACDBCD；(2)若ABC面积为3，求CD．【答案】(1)532(2)143【详解】（1）因为33ABACBC,设3(0)BCtt,则ABACt,由余弦定理得222222231cos222ABACBCttAABACt，因为0,πA，所以2ππ5π,,366AABCBCACBD在ACD中,由正弦定理得sinsin23sin2sin3sin3CDACDCDACDADCDACDA,在BCD△中,由正弦定理得sinsin2sin5sinsin6CDBCDCDBCDBDCDBCDCBD,因为52ADBD,所以23sin532sin2CDACDCDBCD整理得sin53sin2ACDBCD.（2）由52ADBD得32ABBD,由（1）得212πsin323t,所以2t,在BCD△中,245π323,,336BCtBDABCBD,由余弦定理得222cosCDBCBDBCBDCBD2244314(23)433323.3．（2023·河北·统考模拟预测）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且35coscoscaBbA.(1)证明：tan4tanAB；(2)若D为AB的中点，且5CD，10c，求ABC的周长.【答案】(1)证明见解析(2)6510【详解】（1）由题意知35coscoscaBbA，故由正弦定理可得3sin5(sincossincos)CABBA，即3sin5sin()CAB，又π()CAB，所以3sin()5sin()ABAB,即3sincos3cossin5sincos5cossinABABABAB，即sincos4cossinABAB，而在ABC中，,cos0cos0AB，所以sincos4cossincoscoscoscosABABABAB，即tan4tanAB；（2）若D为AB的中点，且5CD，10c，即12CDAB,则ACCB,故tan,tanabABba，由tan4tanAB得4,2ababba，由10c可得2225100,25abbb，则45a，故ABC的周长为6510abc.4．（2023·北京房山·统考二模）在ABC△中，1cos22B，8c，7b．(1)求sinC；(2)若角C为钝角，求ABC△的周长．【答案】(1)437(2)18【详解】（1）在ABC中，因为1cos22B，所以2112sin2B，因为0πB，sin0B，所以3sin2B，由sinsinbcBC，得78sin32C，解得43sin7C（2）因为22sincos1CC，C为钝角，所以2431cos177C，由2222coscababC，得222187277aa，整理得22150aa，解得3a或5a（舍），所以3a.所以ABC的周长为37818abc.5．（2023·湖南永州·统考三模）在ABC中，,,ABC的对边分别为,,abc且cos3sincAcAab.(1)求C的值；(2)若AB边上的点M满足2BMMA，3c，7CM，求ABC的周长.【答案】(1)π3C(2)答案见解析【详解】（1）由正弦定理得：sincos3sinsinsinsinCACAAB,在三角形中πBAC,故sincos3sinsinsinsinCACAAAC，即sincos3sinsinsinsincoscossinCACAAACAC，因为(0,π),sin0Ax，所以3sincos1CC，即π1sin62C，而(0,π)C，ππ5π(,)666C，ππ66C，π3C；（2）因为2BMMA，2BM，1AM，由余弦定理得2222coscababC则229abab①，又7CM，由于)2221(3333CMCBCBCBBMBACCBCACBA，故222414999CMCACBCACB，则226342abab②，①×7=②即222277742abababab，即22230aabb，亦即20abab，则ab或2ba，当ab时，代入①得3a，3b，周长9Labc；当2ba时，代入①得3a，23b，周长333Labc.题型二：最值值问题1．（2023·贵州遵义·统考三模）在ABC中，2π3A，D为BC边上一点，且2BDDC，则ADAB的最小值为.【答案】33【详解】由2BDDC，得11213333ADABBCABACABABACuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，则22222141433999ADABACABACABAC，所以222412999ADcbbc，则222222224124121119991999933cbbcADbbbABcccc，当1bc时，取等号，所以ADAB的最小值为33.故答案为：33.2．（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）从条件①cos3sin1bcAaC；②π3sincos64ABC中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在ABC中：内角,,ABC的对边分别为,,abc，______.(1)求角C的大小；(2)设D为边AB的中点，求222CDab的最大值.【答案】(1)π3C(2)38【详解】（1）若选条件①：由正弦定理得：sinsincossin3sin1BCAAC，sinsincossincoscossinsincosACCAACACCAsincossin3sin1ACAC，0,πA，sin0A，cos3sin1CC，即π3sincos2sin16CCC，1sin62πC，又0,πC，ππ5π,666C，ππ66C，解得：π3C；若选条件②：2πππ31sincossincoscossinsinsincossin66622ABCCCCCCC34，3111π13sin2cos2sin24442644CCC，πsin216C，0,πC，ππ11π2,666C，ππ262C，解得：π3C.（2）12CDCACB，222124CDCACBCACB，即222221π12cos434CDbaababab，22222222211134444284ababCDabababababab（当且仅当ab时取等号），222CDab的最大值为38.3．（2023·山西吕梁·统考二模）如图，在平面四边形ABCD中，135A，2AB，ABD的平分线交AD于点E，且22BE．(1)求ABE及BD；(2)若60BCD，求BCD△周长的最大值．【答案】(1)15ABE，232BD(2)663+【详解】（1）在ABE中，由正弦定理得sin2sin1351sin222ABAAEBBE，又AEBA，则30AEB，于是1801353015ABE，∵BE为角平分线，∴15DBE，∴15BDE，∴22BEDE，在BDE中，根据余弦定理得222222222222cos1501683BD，∴232BD．（2）设BCm，CDn．在BCD△中，由余弦定理得22224312cos603mnmnmnmn，即有2216833168332mnmnmn，即216834mn，∴431mn，当且仅当231mn时，“＝”成立．∴BCD△周长的最大值为663+．4．（2023·河北邯郸·统考二模）已知条件：①22cosabcB；②2sincossin223cosaABbAaC；③23sin32cos2CC.从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：____.(1)求角C的大小；(2)若23c，ABC与BAC的平分线交于点I，求ABI△周长的最大值.【答案】(1)π3C(2)423【详解】（1）选择条件①，22cosabcB，在ABC中，由余弦定理得222222222acbacbabcbaca，整理得222abcab，则2221cos22abcCab，又0,πC，所以π3C；选择条件②，2sincossin223cosaABbAaC，于是sincossincos3cosaABbAAaC，由正弦定理得2sincossinsincos3sincosABABAAC，因为sin0A，则s