专题04 解三角形（中线问题）(典型题型归类训练)（解析版）

专题04解三角形（中线问题）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍......................................................1二、典型题型......................................................2方法一：向量化(三角形中线向量化）...............................2方法二：角互补.................................................4三、专项训练......................................................8一、必备秘籍1、向量化(三角形中线问题）如图在ABC中，D为CB的中点，2ADACAB(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）2、角互补ADCADBcoscos0ADCADB二、典型题型方法一：向量化(三角形中线向量化）1．（2023·四川泸州·校考三模）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，2sin3cos3aCaCb，60A．(1)求a的值；(2)若12BAAC，求BC边上中线AT的长．【答案】(1)3(2)52【详解】（1）由正弦定理得：sinsin3sincos3sin3sinaACACBAC，sinsin3sincos3cossin3sincos3cossinaACACACACAC，0120C，sin0C，sin3cosaAA，又60A，3322a，解得：3a.（2）11cos180cos22BAACbcAbcAbc，1bc∴，由余弦定理得：22222cos4bcabcAabc，12ATABAC，2221152cos41444ATcbbcA，52AT，即BC边上中线AT的长为52.2．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）ABC的内角,,ABC所对边分别为a，b，c，已知sinsinsinsincCbBcaAA，2b.(1)若2ac，求ABC的周长；(2)若AC边的中点为D，求中线BD的最大值.【答案】(1)223(2)3【详解】（1）∵sinsinsinsincCbBcaAA，由正弦定理可得：22cbcaaa，则222acbac，若2ac，则222442ccc，解得233c，故ABC的周长3223abcbc.（2）∵2BDBCBA，∴22222222222222422cos2222acbBDBCBABCBABCBAacacBacacacbac，由（1）可得：222acbac，即22ac4ac，∵222acac，当且仅当2ac时，等号成立，∴222242acac，则228ac，故2222224222428412BDacbac，则3BD，所以BD的最大值为3.3．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考模拟预测）已知函数2ππsin2cos2312sin36fxxxx．(1)求fx的单调递增区间；(2)记,,abc分别为ABC内角,,ABC的对边，且32Af，BC的中线3AD，求ABC面积的最大值．【答案】(1)5πππ,π,Z1212kkk(2)33【详解】（1）2ππsin2cos2312sin36fxxxx1331sin2cos2cos2sin23cos22222xxxxx13πsin23cos22sin2cos22sin2223xxxxx由πππ2π22π,Z232kxkk，解得5ππππ,Z1212kxkk，fx的单调递增区间为5πππ,π,Z1212kkk；（2）因为32Af，可得π3sin32A，因为0,πA，所以π2π33A即π3A，由1122ADABAC及3AD可得，222222211111119cos4424424ADABACABACcbcbAbcbc，所以2236bcbc所以22362bcbcbcbc即12bc，当且仅当23bc时取到等号，所以13sin3324ABCSbcAbc△，故ABC面积的最大值为33.方法二：角互补1．（2023·全国·高三专题练习）在①2sinsin1sinsinABcBAab；②(2)coscos0abCcA；③3sinsin2ABacA，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)若4c，求AB的中线CD长度的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)233【详解】（1）选择条件①：由2sinsin1sinsinABcBAab及正弦定理，得：21abcbaab，即222abcab，由余弦定理，得2221cos222abcabCabab,因为0C，所以23C；选择条件②：由(2)coscos0abCcA及正弦定理，得：(sin2sin)cossincos0ABCCA，即sincoscossin2sincosACACBC.即sin()2sincosACBC.在ABC中，ABC，所以sin()sin()sinACBB，即sin2cossinBCB，因为0B，所以sin0B，所以1cos2C,因为0C，所以23C；选择条件③：由3sinsin2ABacA及正弦定理，得：3sinsinsinsin2ABACA，因为0A,sin0A，所以3sinsin2ABC.在ABC中，ABC，则sincos22ABC，故3cos2sincos222CCC.因为0C，所以cos02C，则3sin22C，故23C；（2）因为ADCBDC，所以22224402222CDbCDaCDCD，整理得22228CDab，在三角形ABC中，由余弦定理得22222242cos3abababab.因为222abab，当且仅当ab时取等号，所以22222222131622ababababab，即22323ab，所以22232828833CDab，即233CD，即CD长度的最小值为233.2．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3cossinaCbcA.(1)求角A；(2)若AD为BC边上中线，129,52ADAB，求△ABC的面积.【答案】(1)2π3(2)6534【详解】（1）由正弦定理得3sincossinsinsinAACBC，∴3sincos3sinsinsinACBCA，∴3sincos3sinsinsinACACCA,∴3sincossinsinCAAC，∵sin0C，∴tan3A，又∵0πA,∴2π3A,（2）由已知得ACb，2aBDDC，在△ABD中，由余弦定理得22129252944cos1292129222aaADBaa，在△ACD中，由余弦定理得222212929444cos1292129222ababADCaa，又∵coscos0ADBADC,∴22241580ab，在△ABC中，由余弦定理得22255abb，以上两式消去2a得251040bb,解得13b或8b（舍去），则1sin2ABCSbcBAC6534.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数231sincoscos22222xxxfx.(1)求函数fx的单调递增区间；(2)在ABC中，,,abc分别是角,,ABC的对边，0,3fAa，若D为BC上一点，且满足____________，求ABC的面积S.请从①3sincosBbC；②AD为ABC的中线，且72AD；③AD为ABC的角平分线，且233AD.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)22,233kk，Zk(2)答案见解析【详解】（1）3111sin1cossin44264fxxxx，由22262kxk，得22233kxk，Zk，∴函数fx的单调递增区间为22,233kk，Zk；（2）由11sin0264fAA，得1sin62A，又ABC中0A，5666A，可知3A；若选①3sincosBbC：由3a，可知sincosaBbC，可化为sinsinsincosABBC，又sin0B，则3cossin2CA，又ABC中0C，故6C，所以2B，则1sin231sin32CcaA，故113sin311222SacB；若选②：AD为ABC的中线，且72AD在ABC中，3A，3a，则有223bcbc，在ABD△中，222cos2ADBDcADBADBD，在ACD中，222cos2ADCDbADCADCD，又coscoscoscos0ADBADCADCADC，则222222222222122022252ADabADBDcADCDbbADBDADCDADCDcACcDD则225bc，又知223bcbc，故2bc；故1133sin22222SbcA；若选③：AD为ABC的角平分线，且233AD.由题意知，ABDACDSSS△△，即112311231322322322cbbc，整理得32bcbc又在ABC中，3A，3a，则有223bcbc，故2222293334bcbcbcbcbcbc解之得，2bc，故13sin22SbcA.三、专项训练1．（2023·全国·高三专题练习）在等腰ABC中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则ABC的面积的最大值是（）A．6B．12C．18D．24【答案】A【详解】设2ABACm，2BCn，由于ADBCDB，在ABD△和BCD△中应用余弦定理可得：2222949466mmmnmm，整理可得：2292mn，结合勾股定理可得ABC的面积：22222111()2434222SBCACBCnmnnn222243(43)62nnnn，当且仅当22n时等号成立．则ABC面积的最大值为6．故选：A.2．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知π2sin22cbBa．(1)求A；(2)若3bc，求BC边中线AM的取值范围．【答案】(1)π3A(2)333,42AM【详解】（1）由已知可得2cs2ocaBb，由余弦定理可得222222acbcbaca，整理得222bcabc