专题07利用导函数研究函数零点问题(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.........................................................................................................1二、典型题型.........................................................................................................2题型一:判断(讨论)零点(根)个数问题...................................................2题型二:证明唯一零点问题.............................................................................6题型三:根据零点(根)的个数求参数..........................................................9三、专项训练.......................................................................................................14一、必备秘籍1、函数的零点(1)函数零点的定义:对于函数()yfx,把使()0fx的实数x叫做函数()yfx的零点.(2)三个等价关系方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点的横坐标函数)(xfy有零点.2、函数零点的判定如果函数()yfx在区间[,]ab上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()()0fafb,那么函数()yfx在区间(,)ab内有零点,即存在(,)cab,使得()0fc,这个c也就是()0fx的根.我们把这一结论称为函数零点存在性定理.注意:单调性+存在零点=唯一零点3、利用导数确定函数零点的常用方法(1)图象法:根据题目要求画出函数的图象,标明函数极(最)值的位置,借助数形结合的思想分析问题(画草图时注意有时候需使用极限).(2)利用函数零点存在定理:先用该定理判定函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.4、利用函数的零点求参数范围的方法(1)分离参数(()agx)后,将原问题转化为()ygx的值域(最值)问题或转化为直线ya与()ygx的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解;(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解;(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.二、典型题型题型一:判断(讨论)零点(根)个数问题1.(2023·河北邯郸·统考模拟预测)已知函数ln2fxxaxa.(1)若1a,求曲线yfx在点e,ef处的切线方程;(2)讨论函数fx的零点个数.【答案】(1)1110exy(2)答案见解析【详解】(1)当1a时ln1fxxx,则elnee12ef,11fxx,所以1e1ef,所以曲线yfx在点e,ef处的切线方程为12e1eeyx,即1110exy.(2)函数ln2fxxaxa定义域为0,,12fxax,当20a,即2a时()0fx¢恒成立,所以fx在0,上单调递增,又当x趋向于0时0fx,1220fa,所以函数fx有一个零点;当20a,即2a时令0fx,解得12xa,所以当102xa时()0fx¢,当12xa时0fx,所以fx在10,2a上单调递增,在1,2a上单调递减,当x趋向于0时0fx,当x趋向于正无穷时0fx,又11ln122faaa,令1ln12haaa2a,则1102haa,所以ha在,2上单调递增,且10h,若11ln1022faaa,即12a时函数fx有两个零点;若11ln1022faaa,即1a时函数fx有一个零点;若11ln1022faaa,即1a时函数fx没有零点;综上,当1a时函数fx没有零点,当1a或2a时函数fx有一个零点,当12a时函数fx有两个零点.2.(2023·陕西渭南·校考模拟预测)已知函数()e1xfxax,其中e为自然对数的底数.(1)求()fx的单调区间:(2)讨论函数()fx在区间[0]1,上零点的个数.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】(1)因为()e1xfxax,所以()exfxa,当0a时,()0fx恒成立,所以()fx的单调增区间为(,),无单调减区间.当0a时,令()0fx,得lnxa,令()0fx,得lnxa,所以()fx的单调递减区间为(,ln)a,单调递增区间为(ln,)a.(2)由(1)知,()exfxa.①当1a时,()fx在区间[0,1]上单调递增且(0)0f,所以()fx在区间[0,1]上有一个零点.②当ea时,()fx在区间[0,1]上单调递减且(0)0f,所以()fx在区间[0,1]上有一个零点.③当1ea时,()fx在区间[0,ln]a上单调递减,在(ln,1]a上单调递增,而(1)e1fa.当e10a,即1e1a时,()fx在区间[0,1]上有两个零点.当e10a,即e1ea时,()fx在区间[0,1]上有一个零点.综上可知,当1a或e1a时,()fx在[0,1]上有一个零点,当1e1a时,()fx在区间[0,1]上有两个零点.【点睛】方法点睛:利用导数处理函数零点常用方法(1)构造新函数()gx,利用导数研究()gx的性质,结合()gx的图象,判断函数零点的个数.(2)利用零点存在定理,先判断函数在某区间有零点,再结合图象与性质确定函数有多少个零点.3.(2023上·广东中山·高三校考阶段练习)设函数21ln2fxxmx,21gxxmx,0m.(1)求函数fx的单调区间;(2)当m1时,讨论fx与gx图象的交点个数.【答案】(1)单调递增区间是,m,单调递减区间是0,m(2)函数fx与gx的图象总有一个交点【详解】(1)函数fx的定义域为0,,xmxmfxx.当0xm时,0fx,函数fx单调递减;当xm时,()0fx¢,函数fx单调递增.综上,函数fx的单调递增区间是,m,单调递减区间是0,m.(2)令211ln2Fxfxgxxmxmx,0x,题中问题等价于求函数Fx的零点个数.11xxmmFxxmxx,当1m时,0Fx,函数Fx为减函数,因为3102F,4ln40F,所以Fx有唯一零点;当1m时,01x或xm时,0Fx;1xm时,0Fx,所以函数Fx在0,1和,m上单调递减,在1,m上单调递增,因为1102Fm,22ln220Fmmm,所以Fx有唯一零点.综上,函数Fx有唯一零点,即函数fx与gx的图象总有一个交点.4.(2023上·上海虹口·高三校考期中)函数()sincosfxxx,()lngxx(1)求函数()yfx在点(0,1)的切线方程;(2)函数22()mygxx,R,0mm,是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;(3)若Rm,请讨论关于x的方程2()2egxxxmx解的个数情况.【答案】(1)10xy;(2)0m时无极值点;0m时有极小值点xm,无极大值点.(3)答案见解析.【详解】(1)由题设()cossinfxxx,则(0)1f,而(0)1f,所以,切线方为1yx,即10xy.(2)由题设22lnmyxx,则22(1)myxx,且,()0x,当0m时,0y恒成立,故22lnmyxx在(0,)上递增,无极值;当0m时,(0,)xm时0y,(,)xm时0y,则22lnmyxx在(0,)xm上递减,在(,)xm上递增;此时有极小值点为xm,无极大值点.(3)由题意,只需讨论2ln2exmxxx在,()0x上根的情况,令2ln()2exhxxxx,则21ln()2(e)xhxxx,而(e)0h,当(0,e)x时()0hx,()hx递增;当(e,)x时()0hx,()hx递减;且x趋向0或时()hx趋向,极大值为21(e)eeh,综上,当21eem,原方程有无解;当21eem,原方程有一个解;当21eem,原方程有两个解;5.(2023上·广东揭阳·高三统考期中)给定函数2exfxx.(1)讨论函数fx的单调性,并求出fx的极值;(2)讨论方程Rfxaa解的个数.【答案】(1)fx在区间,3上单调递减,在区间3,上单调递增;极小值为31e,无极大值(2)答案见解析【详解】(1)函数的定义域为xR.(2)e2exxfxxxe2exxx3exx.令0fx,解得3x,fx,fx的变化情况如表所示.X,3-33,fx-0+fx单调递减31e单调递增所以,fx在区间,3上单调递减,在区间3,上单调递增.当3x时,fx有极小值313ef,fx无极大值(2)方程Rfxaa的解的个数为函数yfx的图象与直线ya的交点个数.令0fx,解得2x.当2x时,0fx;当2x时,0fx.又由(1)可知,fx在3x时有唯一极小值,也是最小值31e.所以,fx的图象经过特殊点313,e,2,0,0,2.且当0x时,有2eexxfxx;当2x时,有2e0xfxx.如图,作出函数的图象由图象可得,当31ea时,yfx与ya的图象没有交点,所以方程fxa的解为0个;当31ea或0a时,yfx与ya的图象只有一个交点,所以方程fxa的解为1个;当310ea时,yfx与ya的图象有两个交点,所以方程fxa的解为2个.题型二:证明唯一零点问题1.(2023上·广东珠海·高三校考阶段练习)已知函数2sincosfxxxxx,yfx为yfx的导数.(1)求曲线yfx在ππ,22f处的切线方程:(2)证明:yfx在区间0,π存在唯一零点;【答案】(1)2ππ1224yx;(2)证明见解析.【详解】(1)ππππππ2sincos2222222f,所以切点为ππ,222,又2c