专题03 利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）(典型题型归类训练) (解析版）

专题03利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.........................................................................................................1二、典型题型.........................................................................................................2题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）................................2题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型.....4题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型...................................7三、专项训练.......................................................................................................10一、必备秘籍一、含参问题讨论单调性第一步：求()yfx的定义域第二步：求()fx（导函数中有分母通分）第三步：确定导函数有效部分，记为()gx对于()yfx进行求导得到fx，对fx初步处理（如通分），提出fx的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为fx的有效部分（如：22(2)xexaxfxx，则记2()2gxxax为()fx的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定fx的正负.第四步：确定导函数有效部分()gx的类型：1、导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）借助导函数有效部分()gx的图象辅助解题：①令()0gx，确定其零点0x，并在x轴上标出②观察()ygx的单调性，③根据①②画出草图2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型借助导函数有效部分()gx的图象辅助解题：①对()gx因式分解，令()0gx，确定其零点1x，2x并在x轴上标出这两个零点②观察()ygx的开口方向，③根据①②画出草图3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型①对()ygx，求24bac②分类讨论0③对于0，利用求根公式求()0gx的两根1x，2x④判断两根1x，2x是否在定义域内：对称轴+端点正负⑤画出()ygx草图二、含参问题讨论单调性的原则1、最高项系数含参，从0开始讨论2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论3、考虑根是否在定义域内二、典型题型题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()lnfxxax，讨论fx的单调性.【答案】答案见解析.【详解】由函数()()lnfxxax，可得lnln10xaafxxxxxx，设ln1axfxxx，可得221axaxxxx，①当0a时，0x恒成立，所以fx在0,单调递增；②当a0时，令0x，解得xa，此时fx单调递增，令0x，解得0xa，此时fx单调递减，综上，当0a时，fx在0,单调递增；当a0时，fx在(0,)a单调递减，在,a单调递增.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数lnRfxaxaxa，讨论fx的单调性.【答案】答案见解析；【详解】由题可知fx的定义域为0,，1fxax，当0a时，0fx，函数fx在0,上单调递减；当0a时，令0fx得1xa，∴当10xa时，0fx，当1xa时，()0fx¢，∴fx在10,a上单调递减，在1,a上单调递增；综上，当0a时，函数fx在0,上单调递减；当0a时，fx在10,a上单调递减，在1,a上单调递增.3．（2023上·四川成都·高三成都外国语学校校考开学考试）已知函数exfxaax，Ra(1)当1a时，求fx的最值；(2)求fx的单调区间．【答案】(1)min()2fx，无最大值．(2)答案见解析【详解】（1）当1a时()e1xfxx定义域为R，则()e1xfx，所以当0x时()0fx，当0x时()0fx，所以()fx在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增，所以()fx在0x处取得极小值即最小值，即min()(0)2fxf，无最大值．（2）()exfxaax定义域为R，且()e1xfxa，当0a时()0fx恒成立，所以()fx在R上单调递减，当0a时，令()0fx解得lnxa，令()0fx，解得lnxa，所以()fx在(,ln)a上单调递减，在(ln,)a上单调递增，综上可得：当0a时()fx在R上单调递堿；当0a时()fx在(,ln)a上单调递减，在(ln,)a上单调递增．4．（2022上·湖南邵阳·高二统考期末）设函数()ln,0fxaxxba．(1)若曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为21yx，求,ab；(2)求函数()fx的单调区间．【答案】(1)2,3ab(2)答案见解析【详解】（1）由于切点在切线上，所以2113y，函数通过点(1,3)(1)03,3fbb又()(ln1)fxax，根据导数几何意义，(1)(ln11)2faa2,3ab；（2）由可知()(ln1)0fxaxx当0a时，()(ln1)0fxax则1xe；1()0,0fxxe当a0时，()(ln1)0fxax则10xe；1()0,fxxe当0a时，()fx的单调递减区间为10,e，单调递增区间为1,e当a0时，()fx单调递增区间为10,e，单调递减区间为1,e.题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数22132ln2fxxaxax，0a，讨论fx的单调区间.【答案】答案见解析【详解】fx的定义域为0,，2xaxafxx，若0a，当0,xa时，()0fx¢，fx单调递增；当,2xaa时，0fx，fx单调递减；当2,xa时，()0fx¢，fx单调递增.若a0，则()0fx¢恒成立，fx在0,上单调递增.综上，当0a时，fx的单调递增区间为0,a，2,a，单调递减区间为,2aa；当a0时，fx的单调递增区间为0,，无单调递减区间.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2212ln,R2afxxaxxa，讨论fx的单调性．【答案】答案见解析【详解】由题设221212221axaxaxxfxaxaxxx且,()0x，当0a时0,fxfx在0,上递减；当0a时，令10fxxa，当10xa时0,fxfx在区间10,a上递减；当1xa时0,fxfx在1,a上递增．所以当0a时，fx的减区间为0,，无增区间；当0a时，fx的增区间为1,a，减区间为10,a.3．（2023·全国·高三专题练习）讨论32312afxaxxx的单调性．【答案】答案见解析【详解】函数的定义域为：R，311fxxax．（1）当0a时，31fxx，若13x，则()0fx¢；若13x，则0fx；∴fx在13，上单调递增，在1,3上单调递减；（2）当a0时，113a，若1xa或13x，则0fx；若113xa，则()0fx¢，∴fx在11,,,3a上单调递减，在11,3a上单调递增；（3）当03a时，113a，若13x或1xa，则()0fx¢；若113xa，则0fx，∴fx在11,,,3a上单调递增，在11,3a上单调递减；（4）当3a时，2310fxx，∴fx在+-，上单调递增；（5）当3a时，113a，若1xa或13x，则()0fx¢；若113xa，则0fx，∴fx在11,,,3a上单调递增，在11,3a上单调递减．综上所述：（1）当a0时，fx在11,,,3a上单调递减，在11,3a上单调递增；（2）当0a时，fx在13，上单调递增，在1,3上单调递减；（3）当03a时，fx在11,,,3a上单调递增，在11,3a上单调递减；（4）当3a时，fx在+-，上单调递增；（5）当3a时，fx在11,,,3a上单调递增，在11,3a上单调递减．4．（2023·全国·模拟预测）已知e1lnxfxaxxx.(1)讨论函数()fx的单调性.【答案】(1)答案见解析(2)不存在，理由见解析【详解】（1）由题意知，函数()fx的定义域为(0,)，且2221e1e11.xxxaxfxaxxxx①当1a时，因为0x，所以e1x，所以e0xa.所以当(0,1)x时，()0fx，()fx单调递减；当(1,)x时，()0fx，()fx单调递增.②当1ea时，由()0fx，解得ln1ax；由()fx0，解得0lnxa或1x.所以()fx在(ln,1)a上单调递减，在(0,ln)a，(1,)上单调递增.③当ea时，()0fx（当且仅当1x时，取等号）恒成立，所以()fx在(0,)上单调递增.④当ea时，由()0fx，解得1lnxa；由()0fx，解得01x或lnxa.所以()fx在(1,ln)a上单调递减，在(0,1)，(ln,)a上单调递增.综上，当1a时，()fx在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增；当1ea时，()fx在(ln,1)a上单调递减，在(0,ln)a，(1,)上单调递增；当ea时，()fx在(0,)上单调递增；当ea时，()fx在(1,ln)a上单调递减，在(0,1)，(ln,)a上单调递增.5．（2023·全国·模拟预测）已知函数122ln11eln11,R4xxfxxaxaxxa．(1)讨论fx的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）解：因为1211eln142ln1xfxxaxaxxx，所以11elnlnelnxxfxxaxxaxxax，设1elnxgxx