专题02 利用导函数研究函数的单调性问题（常规问题）(典型题型归类训练) (解析版）

专题02利用导函数研究函数的单调性问题（常规问题）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍......................................................1二、典型题型......................................................2题型一：求已知函数（不含参）的单调区间..........................2题型二：已知函数fx在区间D上单调求参数........................3题型三：已知函数fx在区间D上存在单调区间求参数................5题型四：已知函数fx在区间D上不单调求参数......................7题型五：已知函数fx在单调区间的个数............................9三、专项训练......................................................9一、必备秘籍1、求已知函数（不含参）的单调区间①求()yfx的定义域②求()fx③令()0fx，解不等式，求单调增区间④令()0fx，解不等式，求单调减区间注：求单调区间时，令()0fx（或()0fx）不跟等号.2、已知函数fx的递增（递减）区间为(,)ab1xa，2xb是0fx的两个根3、已知函数fx在区间D上单调①已知fx在区间D上单调递增xD，0fx恒成立.②已知fx在区间D上单调递减xD，0fx恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.4、已知函数fx在区间D上存在单调区间①已知fx在区间D上存在单调递增区间xD，0fx有解.②已知fx在区间D上单调递区间减xD，0fx有解.5、已知函数fx在区间D上不单调0xD，使得00fx（且0x是变号零点）二、典型题型题型一：求已知函数（不含参）的单调区间1．（2023上·河南·高三荥阳市高级中学校联考阶段练习）函数()ln1fxxx的单调递减区间是（）A．10,eB．0,eC．1,eD．e,【答案】A【详解】令1()1ln0efxxx，10,ex，0fx，1,ex，()0fx¢，则()fx在10,e上单调递减，在1,e上单调递增.故选：A2．（2023下·陕西汉中·高二校考期中）函数25ln31fxxxx的单调递减区间为（）A．51,2B．30,2C．5,2D．50,2【答案】D【详解】函数25ln31fxxxx的定义域为0,，25235230xxfxxxx，因为0x，可得22350xx，解得512x，可得502x，因此，函数fx的单调递减区间为50,2.故选：D.3．（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）函数2lnfxxx的单调递增区间是（）A．(,0)和(0,2)B．(2,)C．(0,2)D．(,0)和(2,)【答案】D【详解】2lnfxxx的定义域为,00,U，221xfxxx，令20xfxx，解得2x或0x，故2lnfxxx的单调递增区间为(,0)和(2,).故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）已知()lnfxxx，求()fx的单调性.【答案】函数fx在10,e上单调递减，在1,e上单调递增.【详解】由1lnfxx，0,x，令()0fx¢，解得1ex，令0fx，解得10ex，所以函数fx在10,e上单调递减，在1,e上单调递增.题型二：已知函数fx在区间D上单调求参数1．（2023上·广东汕头·高三统考期中）设0,1a，若函数(1)xxfxaa在0,递增，则a的取值范围是（）A．5151,22B．51,12C．51,12D．510,2【答案】B【详解】因为函数(1)xxfxaa在0,递增，所以ln(1)ln(1)0xxfxaaaa在0,上恒成立，则(1)ln(1)lnxxaaaa，即1lnln(1)xaaaa在0,上恒成立，由函数1xaya单调递增得01ln1ln(1)aaaa，又0,1a，所以11,2a，所以ln10a，所以ln1ln01aaa即1101aaa，解得5112a，所以a的取值范围是51,12.故选：B2．（2023上·山西晋中·高三校考阶段练习）若函数lnfxkxx在区间1,单调递增，则k的取值范围是（）A．,1B．,1C．1,D．1,【答案】D【详解】若函数lnfxkxx在区间1,单调递增，则10fxkx在1,上恒成立，即1kx在1,上恒成立；又函数1yx在1,上递减，所以11x恒成立，则1k故k的取值范围是1,.故选：D.3．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）若函数sinlnfxxax的图象在区间π,π2上单调递增，则实数a的最小值为．【答案】π【详解】因为sinlnfxxax，所以coscosaxxafxxxx．由fx的图象在区间π,π2上单调递增，可知不等式0fx即cos0xxa在区间π,π2上恒成立．令cosgxxxa，则cossingxxxx，当π,π2x时，0gx，所以gx在π,π2上单调递减，故要使0fx在π,π2x上恒成立，只需π0g．由ππ0ga，解得πa，故实数a的取值范围为π,，则a的最小值为π．故答案为：π4．（2023上·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校考阶段练习）已知函数elnxfxax在区间1,2上单调递增，则a的取值范围是：.【答案】1e,+【详解】依题可知，1e0xfxax在1,2上恒成立，显然0a，所以1exxa，设e,1,2xgxxx，所以1e0xgxx，所以gx在1,2上单调递增，1egxg，故1ea，即11eea，即a的最小值为1e.故a的取值范围是1e,+.故答案为：1e,+5．（2023下·高二课时练习）已知函数3211132fxxaxaxaR是区间1,4上的单调函数，则a的取值范围是．【答案】,25,【详解】2111fxxaxaxxa，令0fx，则1x或1a，因为fx是区间1,4上的单调函数，所以11a或14a，解得2a或5a，所以a的取值范围是,25,.故答案为：,25,.题型三：已知函数fx在区间D上存在单调区间求参数1．（2019下·安徽六安·高二校联考期末）若函数2lnfxaxxx存在增区间，则实数a的取值范围为A．1,4B．1,4C．1,8D．1,8【答案】C【详解】若函数fx不存在增区间，则函数fx单调递减，此时1210fxaxx在区间0,恒成立，可得2112axx，则22111111244xxx，可得18a，故函数存在增区间时实数a的取值范围为1,8．故选C.2．（2023下·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数2exxafx在R上存在单调递增区间，则a的取值范围是.【答案】1,【详解】函数2exxafx，∴22222ee22eeexxxxxxxaxxaxxafx，∵函数2exxafx在R上存在单调递增区间，220exxxafx，即22axx有解，令22gxxx,2111gxx,∴当1x时，min1gx，1a即可．故答案为:1,3．（2020上·北京·高三北师大二附中校考阶段练习）已知函数32()1fxaxx在(0,1)上有增区间，则a的取值范围是.【答案】2,3【详解】由题得2()32fxaxx，因为函数32()1fxaxx在(0,1)上有增区间，所以存在(0,1)x使得()0fx成立，即23ax成立，因为01x时，2233x，所以23a.故答案为：2,34．（2019下·辽宁沈阳·高二校联考期中）设3211()32fxxxax.（1）若()fx在2,3上存在单调递增区间，求a的取值范围；【答案】（1）29a；【详解】解：（1）2'211()24fxxxaxa，当2,3x时，'max'223(9)ffxa，则当2,3x时，令209a，得29a，所以，当29a时，()fx在2,3上存在单调递增区间；题型四：已知函数fx在区间D上不单调求参数1．（2021上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数41xfxaxxe在区间1,3上不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．2,416eeB．2,416eeC．32,3616eeD．3,416ee【答案】A【详解】因为4(1)xfxaxae在区间1,3上不是单调函数，所以340xfaxexx在区间1,3上有解，即24xeax在区间1,3上有解．令2xegxx，则32'xxegxx．当1,2x时，'0gx；当2,3x时，'0gx．故gx在1,2上单调递减，在2,3上单调递增．又因为231,2,349eegegge，且当216ea时，223320,44xxeeefxxxexx所以fx在区间1,3上单调递增，所以244eae，解得2416eae.故选：A2．（2023上·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知函数2sinfxxmx在R上不是单调函数，则实数m的取值范围是．【答案】2m或m2【详解】因为2sinfxxmx，所以2cosfxmx，又fx不是单调函数，所以函数fx有极值点，即fx在R上有变号零点，则2cos0mx成立，当cos0x时，2cos0mx可化为20，显然不成立；当cos0x时，2cosmx，因为xR，1cos1x，所以22cosx或22cosx，所以实数m的取值范围为2m或m2（因为要有变号零点，故不能取等号）