素养拓展4 指数、对数、幂值的比较大小（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展04指数、对数、幂值比较大小（精讲+精练）一、常规思路1.①底数相同，指数不同时，如1xa和2xa，利用指数函数xya的单调性；②指数相同，底数不同，如1ax和2ax利用幂函数ayx单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如1logax和2logax利用指数函数logax单调性比较大小；注：除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。2.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助“媒介数”进行大小关系的判定.3.通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。二、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用𝑥=ln⁡e𝑥(𝑥∈R),𝑥=eln⁡𝑥(𝑥0)将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小.2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(h(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调性,转化为比较自变量g(x)与h(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。常见指数、对数的同构函数有:(1)y=xex与y=xln⁡x;(2)y=exx与y=xln⁡x;(3)y=x+ex与y=ln⁡x+x;(4)y=ex−x与y=x−ln⁡x。3.作差法、作商法是构造函数的一种最常用的方法.解题的关键是作差(或作商)后将得到式子中相同部分看作变量x,由常值换元法构造函数,利用函数的单调性比较大小.比较两个代数式的大小时,若在适当变形的基础上,能够发现这两个代数式均涉及某个特殊的“数字”,则可将该数字利用变量“x”加以表示,从而可考虑通过作差(或作商)方式,灵活构造函数,并利用函数的单调性,巧妙比较大小.三、放缩法一、知识点梳理1.ln⁡x⩽x−1(x0)；ln⁡x⩾1−1x(x0)2.ex⩾x+1(x∈R)；exxln⁡x(x0);⁡⁡(1−x)ex⩽1(x∈R)⁡3.sin⁡xxtan⁡x(0xπ2)【典例1】设0.4log2a，21log0.3b，0.40.3c，则a，b，c的大小关系为（）．A．abcB．bacC．acbD．cba【答案】A【分析】根据换底公式可得21log0.4a，由对数函数的性质可得0ab，从而可比较大小.【详解】0.421log2log0.4a,因为2logyx在0,上单调递增，所以222log0.3log0.4log10，所以22110log0.4log0.3，即0ab.又0.40.30，所以abc.故选:A.【典例2】已知2log22aaa，3log33bbb，4log44ccc，则（）A．abcB．cabC．cbaD．acb【答案】C【分析】先对等式变形得到lnln22aa，3lnln3bb，lnln44cc，构造lnxfxx，求导得到其单调性，结合ln4ln242，2,4ac，得到4a，2c，由98推出ln3ln232，结合函数单调性求出2eb，从而比较出大小.【详解】由2lnlnln2log2ln222aaaaaa，同理3lnln3bb，lnln44cc，令lnxfxx，21lnxfxx，当ex时，21ln0xfxx，当0ex时，21ln0xfxx，二、题型精讲精练可得函数fx的递减区间为e,，递增区间为0,e，而2e34，又由ln4ln242，2,4ac，可得4a，2c，ln3ln2982ln33ln232，又由e3,3b及fx的单调性，可知2eb，故cba．故选：C．【点睛】关键点点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，变形得到lnln22aa，3lnln3bb，lnln44cc，从而构造lnxfxx，达到比较大小的目的.【典例3】已知1sin3a，0.913b，271log92c，则（）A．acbB．abcC．bacD．cab【答案】A【分析】化简得13c，构造函数()sin,0,2πfxxxx，通过导数可证得sin,0,2πxxx，可得ac，而0.91133bc，从而可得答案．【详解】2711lg912lg31log922lg2723lg33c.设()sin,0,2πfxxxx，则有()cos10fxx，()fx单调递减，从而()(0)0fxf，所以sin,0,2πxxx，故11sin33，即ac，而0.91133bc，故有acb．故选：A．【题型训练1-刷真题】一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）设0.110.1e,ln0.99abc，，则（）A．abcB．cbaC．cabD．acb【答案】C【分析】构造函数()ln(1)fxxx，导数判断其单调性，由此确定,,abc的大小.【详解】方法一：构造法设()ln(1)(1)fxxxx，因为1()111xfxxx，当(1,0)x时，()0fx，当,()0x时()0fx，所以函数()ln(1)fxxx在(0,)单调递减，在(1,0)上单调递增，所以1()(0)09ff，所以101ln099，故110lnln0.999，即bc，所以1()(0)010ff，所以91ln+01010，故1109e10，所以11011e109，故ab，设()eln(1)(01)xgxxxx，则21e11()+1e11xxxgxxxx,令2()e(1)+1xhxx，2()e(21)xhxxx，当021x时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx单调递减，当211x时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx单调递增，又(0)0h，所以当021x时，()0hx，所以当021x时，()0gx，函数()eln(1)xgxxx单调递增，所以(0.1)(0)0gg，即0.10.1eln0.9，所以ac故选：C.方法二：比较法解：0.10.1ae，0.110.1b，ln(10.1)c，①lnln0.1ln(10.1)ab，令()ln(1),(0,0.1],fxxxx则1()1011xfxxx，故()fx在(0,0.1]上单调递减，可得(0.1)(0)0ff，即lnln0ab，所以ab；②0.10.1ln(10.1)ace，令()ln(1),(0,0.1],xgxxexx则1111'11xxxxxegxxeexx，令()(1)(1)1xkxxxe，所以2()(12)0xkxxxe，所以()kx在(0,0.1]上单调递增，可得()(0)0kxk，即()0gx，所以()gx在(0,0.1]上单调递增，可得(0.1)(0)0gg，即0ac，所以.ac故.cab2．（2021·全国·统考高考真题）设2ln1.01a，ln1.02b，1.041c．则（）A．abcB．bcaC．bacD．cab【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数2ln1141fxxx,ln12141gxxx，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】[方法一]：2ln1.01a2ln1.012ln10.012ln120.010.01ln1.02b，所以ba；下面比较c与,ab的大小关系.记2ln1141fxxx，则00f，214122114114xxfxxxxx，由于2214122xxxxxx所以当0x2时，21410xx，即141xx，()0fx¢，所以fx在0,2上单调递增，所以0.0100ff，即2ln1.011.041，即ac；令ln12141gxxx，则00g，21412221214114xxgxxxxx，由于2214124xxx，在x0时，214120xx，所以0gx，即函数gx在[0，+∞)上单调递减，所以0.0100gg，即ln1.021.041，即bc；综上，bca，故选：B.[方法二]：令21ln1(1)2xfxxx221-01xfxx，即函数()fx在（1，+∞)上单调递减10.0410,ffbc令232ln1(13)4xgxxx21303xxgxx，即函数()gx在（1，3)上单调递增10.0410,ggac综上，bca，故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.3．（2020·全国·统考高考真题）已知5584，13485．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．abcB．bacC．bcaD．cab【答案】A【分析】由题意可得a、b、0,1c，利用作商法以及基本不等式可得出a、b的大小关系，由8log5b，得85b，结合5458可得出45b，由13log8c，得138c，结合45138，可得出45c，综合可得出a、b、c的大小关系.【详解】由题意可知a、b、0,1c，222528log3lg3lg81lg3lg8lg3lg8lg241log5lg5lg522lg5lg25lg5ab，ab；由8log5b，得85b，由5458，得5488b，54b，可得45b；由13log8c，得138c，由45138，得451313c，54c，可得45c.综上所述，abc.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.4．（2020·全国·统考高考真题）若2233xyxy，则（）A．ln(1)0yxB．ln(1)0yxC．ln||0xyD．ln||0xy【答案】A【分析】将不等式变为2323xxyy，根据23ttft的单调性知xy，以此去判断各个选项中真数与1的大小