圆锥曲线的第三定义

2015.1.23-24JZX1/11圆锥曲线的第三定义及运用一、椭圆和双曲线的第三定义1.椭圆在椭圆2222C10xyabab：中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一点，若PAPBkk、存在，则有：222=1=PAPBbkkea证明：构造△PAB的PA边所对的中位线MO，PAMOkk，由点差法结论：222=1=MOPBbkkea知此结论成立。2.双曲线在双曲线2222C1xyab：中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一点，若PAPBkk、存在，则有：222=1=PAPBbkkea证明：只需将椭圆中的2b全部换成2b就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。2015.1.23-24JZX2/11二、与角度有关的问题例题一：已知椭圆2222C10xyabab：的离心率32e，A、B是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲线22178xy的一个交点，令PAB=APB=，，则cos=cos2.解答：令=PBx，由椭圆第三定义可知：21tantan=1=4ecoscoscoscossinsin1tantan3===cos2coscoscossinsin1tantan5点评：其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆。2015.1.23-24JZX3/11变式1-1：（石室中学2015级高二下4月18日周末作业）已知双曲线22C2015xy：的左右顶点分别为A、B，P为双曲线右支一点，且=4PABAPB，求=PAB.解答：令=02PAB，，=02PBA，，则=5，由双曲线的第三定义知：2tantan=tantan5=1=1e则：1tan==tan5=5=tan52212点评：与例题1采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为1即表示sinα=cosβ，cosα=sinβ两角互余☆，则可解出α的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。三、与均值定理有关的问题例题2：已知A、B是椭圆222210xyabab长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM、BN的斜率分别为12kk、，且120kk。若12kk的最小值为1，则椭圆的离心率为.2015.1.23-24JZX4/11解答一（第三定义+均值）：由题意可作图如下：连接MB，由椭圆的第三定义可知：222=1=AMBMbkkea，而BMBNkk2122=bkka12122132==1==22bbkkkkeaa解答二（特殊值法）：这道题由于表达式12min1kk非常对称，则可直接猜特殊点求解。121==2kk时可取最值，则M、N分别为短轴的两端点。此时：1213====22bkkea。点评：对于常规解法，合理利用M、N的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来，既构造了“一正”，又构造了“二定”，利用均值定理“三相等”即可用a、b表示出最值1。当然将12kk、前的系数改为不相等的两个数，就不能利用特殊值法猜答案了，但常规解法相同，即变式2-1。变式2-1：已知A、B是椭圆222210xyabab长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM、BN的斜率分别为12kk、，且120kk。若12222kk的最小值为1，则椭圆的离心率为.2015.1.23-24JZX5/11解答：连接MB，由椭圆的第三定义可知：222=1=AMBMbkkea，而BMBNkk2122=bkka121241152224==1==44bbkkkkeaa变式2-2：已知A、B是椭圆222210xyabab长轴的两个端点，若椭圆上存在Q，使23AQB，则椭圆的离心率的取值范围为.解答一（正切+均值）：令Q在x轴上方，则直线QA的倾斜角为02，，直线QB的倾斜角为2，。2AQB，，tantantantan1tantanAQB由椭圆的第三定义：22tantan=ba，则22tan=tanba带入可得：22222222tantantantantantan==1tantan11bbaabbaa2222222222tan2tan==11bbabaabbabaa（取等条件：tanba，即Q为上顶点）而tanx在2，单增，则Q为上顶点时maxAQB，所以此时23AQB，故613e，解答二（极限法）：当Q趋近于A、B两点时，2AQB（此时Q点所在的椭圆弧趋近于以AB为直径的圆的圆2015.1.23-24JZX6/11弧，AQB相当于直径所对的圆周角）；当Q在A、B间运动时2AQB（Q在以AB为直径的圆内部，AQB直径所对的圆周角=90°），由椭圆的对称性可猜测当Q为短轴端点时maxAQB。由于：椭圆上存在Q，使23AQB，那么Q为短轴端点时max23AQB。取临界情况，即Q为短轴端点时23AQB，此时633aeb；当椭圆趋于饱满（0e）时，椭圆趋近于圆，圆的直径所对的圆周角永远为90°，不满足；当椭圆趋于线段（1e）时，maxAQB，满足。故613e，。当然这些只需要在头脑中一想而过，简洁而有逻辑。点评：这道题可以增加对于圆周角的理解，在用极限法讨论：“当Q趋近于A、B两点时，2AQB”时能会颠覆“AQB”的认知，当然这肯定是错的，结合常规解法可以看出此时是角最小的情况，而不是角最大的情况。要搞清楚，不然会被弄晕的。对于常规解法选择正切表示角的大小的原因有二：①与第三定义发生联系②tanx在2，单增便于利用tanx的大小比较角度的大小。四、总结归纳1.上述部分题目的常规解法较复杂，但做题时一定要能猜答案，而且要猜得有理由。2.对于均值不等式，注意取等条件是“三相等”，即相等时取最值。这可以帮助猜测表达形式是高度对称的式子的最值，如：例题23.极限法可以刻画出单调变化的某一变量的端点值，如：变式2-2中P在椭圆上滑动，角度的变化一定是光滑的（无突变，连续），所以只需考虑边界值。4.做几何的选填题时，有时利用圆周角定理可以很快的找到最大角，注意学会恰当运用，如：变式2015.1.23-24JZX7/112-2。5.常以正切值刻画角度大小。6.在做综合性较大的题目时要联系各种知识，灵活转化，以最巧妙的方法致胜。7..8..五、方法链接针对上文提到的“圆周角找最大角”与“椭圆中另一类均值”进行拓展补充，各附例题。例题3：在平面直角坐标系XOY中，给定两点1,2M和1,4N，点P在X轴上移动，当MPN取最大值时，点P的横坐标为.解答一（正切+均值）：已知：1,2M、1,4N，:3MNlyx与x轴交于03,0P令,0Pt，则：21MPkt，41NPkt，=MPN①当3t时，=0②当3t时，MPl的倾斜角较大，226tan==17MPNPMPNPkktkkt2015.1.23-24JZX8/11令30xt，则2226222tan====116761616626txtxxxxxx（tan0）此时4x，1t，max4③当3t时，NPl的倾斜角较大，226tan==17NPMPMPNPkktkkt30xt，则22262221tan====167616716626txtxxxxxx（tan0）此时4x，7t，max1tan7由于0，，且tan在0，上单增，tan01，max4，此时1t解答二（圆周角定理）：本题中的取极值时的P点的几何意义为：过M、N的圆与x轴切于P点。下面给出证明：证明：以与x轴切于2P点的圆满足所求最大角为例：由于3MNlyx：是过M、N两点的圆的一条弦，由垂径定理知圆心在3lyx：上随着圆心横坐标从0开始增大：当半径r较小时，圆与x轴无交点；当半径稍大一点时，圆2015.1.23-24JZX9/11与x轴相切，有一个交点；当半径更大一点时，圆与x轴有两交点3P、4P。此时：根据圆周角定理：342Q=MPNMPNMNMPN，可知：圆与x轴相切时，maxMPN。R较小的情况（圆与x轴相离）R较大的情况（圆与x轴相交于3P、4P）所以：过M、N的圆与x轴切于3P、4P点时，分别有maxMPN只需比较1MPN与2MPN，哪一个更大。令与x轴相切的圆的圆心为,xy，则切点,0Px，半径为y圆满足：2222222126707114xyyxxxorxyy（消去y）比较可知：当x=1时，maxMPN点评：常规方法依旧是利用正切度量角的大小，但注意用倾斜角表示所求角时要用大角减去小角，才能得到正角；均值时要注意以分子（一次）为新元构建均值。用圆周角角的性质解答，只要转化为切点，解一个方程组，比较两个角谁大就行了。（不比较也行，画图可知右边角大于左边角：弦长相等，半径越大，弦所对的圆周角越小。）其实两种解法的难度是一样，只是一种要写得多，一种要想得多。☆2015.1.23-24JZX10/11变式3-1：若G为△ABC的重心，且AGBG，则sinC的最大值为.解答一（余弦定理+均值）：令0,0G，,0Aa，0,bB，则由13,13GABCGABCxxxxCabyyyy由点间的距离公式：22ABab，224ACab，224BCab由余弦定理：222222222222244cos=2244abababACBCABCACBCabab22222222222242==24444abababababab由于：22222254422abababababmax433cos0sinsin555CCC解法二（圆周角定理）：令1,0A，1,0B，Gsin,cos，则C3sin,3cos题目转化为：1,0A，1,0B，C,xy满足：229xy，求sinC的最大值。目测可知C0,3时，maxABC，下面以C'0,3来证明。2015.1.23-24JZX11/11过1,0A，1,0B，C'0,3作圆O：若C不在'C点，令AC交圆O于Q点。由圆周角定理：'ACBAQBACB证得此时由余弦定理minmax43cos=sin55CC点评：可以说这道题与例题3有异曲同工之妙，直观感觉加上圆周角定理可以说是画几个圆就解出题了。其实余弦函数在0，单调，也可用来度量角的大小。不过更值得一提的是两种方法以不同的方式，间接地表现了题中点的关系，设点的方式☆值得思考领悟。解法一照顾垂直结论，把重心放在原点，利用重心的坐标很好地刻画了C点的坐标；解法二联系圆的直径所对圆周角为直角表示垂直条件，以同样方式刻画C点