素养拓展33 曲线的轨迹方程问题 （解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展33曲线的轨迹方程问题（精讲+精练）一、曲线方程的定义一般地，如果曲线C与方程(,)0Fxy之间有以下两个关系：①曲线C上的点的坐标都是方程(,)0Fxy的解；②以方程(,)0Fxy的解为坐标的点都是曲线C上的点．此时，把方程(,)0Fxy叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程(,)0Fxy的曲线．二、求曲线方程的一般步骤（直接法）（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为),(yx；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．三、求轨迹方程的方法1.定义法如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。2.代入法（相关点法）如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出(,)Pxy，用(,)xy表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。3.交轨法在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．yx、一、知识点梳理4.参数法动点(,)Mxy的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即()()xfyg，再消参.5.点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)AxyBxy的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12xx，12yy，12xx，12yy等关系式，由于弦AB的中点(,)Pxy的坐标满足122xxx，122yyy且直线AB的斜率为2121yyxx，由此可求得弦AB中点的轨迹方程.【典例1】已知点P是椭圆22164xy上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点,Nxy的轨迹方程为______．【答案】2216xy【解析】因为PMx轴，垂足为M，且PM的中点为,Nxy，所以,2Pxy，又因为P是椭圆22164xy上任意一点，所以22(2)164xy，即2216xy.故答案为：2216xy.【典例2】已知圆F：2221xy，动圆P与圆F外切，且与定直线3x相切，设动点P的轨迹为E．求E的方程；【解析】设,Pxy，圆P的半径为R，由题可知，点P在直线3x右侧，因为圆P与定直线3x相切，所以3Rx．又圆P与圆F外切，所以22||121RPFxy，所以22321xxy，化简得28yx，即E的方程为28yx．【典例3】（单选题）设,AB分别是直线2yx和2yx上的动点，且满足AB4，则AB的中点M的轨二、题型精讲精练迹方程为（）A．22116yxB．22116xyC．22116yxD．22116xy【答案】A【解析】设11,2Axx，22,2Bxx，,Mxy，因为M为AB的中点，则1212,2xxMxx，故122xxx，12yxx，又因为22212122216ABxxxx，所以22416yx，即22116yx，所以点M的轨迹方程为22116yx．故选:A.【典例4】已知1A、2A为椭圆C：2213yx的左右顶点，直线0xx与C交于AB、两点，直线1AA和直线2AB交于点P.求点P的轨迹方程.【解析】由题意得11,0A，21,0A，设00,Axy，000,0Bxyy，,Pxy，则11PAAAkk，22PABAkk，即0011yyxx，0011yyxx，得22022011yyxx，又∵点()00,xy在C上，即220013yx，得2231yx，∴22103yxy；【典例5】已知椭圆22143xy的弦AB所在直线过点1,1E，求弦AB中点F的轨迹方程.【解析】设1122,,AxyBxy，，弦AB的中点,Fxy，则121222xxxyyy，将AB，代入椭圆方程得22112222143143xyxy，两式相减得12121212043xxxxyyyy，所以12122023xxxyyy，当12xx时，1212121222002323yyyyyxxyxxxx，因为EFABkk，所以121211yyyxxx，则210231xyyx，整理得22343401xyxyx；当12xx时，则直线AB方程为1x，代入椭圆方程解得3311,22,,AB所以10F，满足上述方程，故点F的轨迹方程2234340xyxy.【题型训练-刷模拟】一、单选题1．平面直角坐标系中点,Mxy满足2222(1)(1)2xyxy，则点M的轨迹为（）A．线段B．圆C．椭圆D．不存在【答案】A【分析】根据两点距离之和的几何意义分析即可【详解】因为2222(1)(1)2xyxy，表示点(,)Pxy到两点12(1,0),(1,0)FF的距离之和为2，又12||2FF=，则点P的轨迹就是线段12FF.故选：A2．一动圆P过定点4,0M，且与已知圆N：22416xy相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A．221412xyB．221412yxC．221412xyD．221412yx【答案】C【分析】由两圆相切分析可知4PMPN，符合双曲线的定义，可得24a，28c，根据双曲线中a，b，c的关系，即可求出动圆圆心P的轨迹方程.【详解】解：已知圆N：22416xy圆心4,0N，半径为4，动圆圆心为P，半径为r，当两圆外切时：,4PMrPNr，所以4PMPN；当两圆内切时：,4PMrPNr，所以4PMPN；即4PMPN，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义，所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且24a，28c，2216423bca，所以动圆圆心P的轨迹方程为：221412xy，故选：C.3．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若·ACBC=2，则点C的轨迹为（）A．椭圆B．射线C．圆D．直线【答案】C【分析】建立合适的平面直角坐标系，设,0,,,0,AaCxBay，根据2ACBC以及向量数量积的坐标形式求解出,xy满足的关系式，即可判断出轨迹形状.【详解】因为点,AB是两个定点，不妨设2ABa，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设,0Aa，,0Ba，,Cxy，所以,ACxay，,BCxay，由2ACBC得：22xaxay，即2222xya，所以点C的轨迹为圆.故选：C.4．已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，3142OPOAOB，则动点P的轨迹方程是（）A．22132xyB．22194xyC．22148xyD．22184xy【答案】B【分析】利用相关点法即可求得动点P的轨迹方程.【详解】设(,)Pxy，不妨令1(,0)Ax，2(0,)By正方形ABCD的面积为16，则AB4，则221216xy，由3142OPOAOB，可得123412xxyy，即12432xxyy，则2242163xy，整理得22194xy故选：B5．已知圆22:3Cxy，直线l过点2,0A.线段AB的端点B在圆C上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为（）A．22314xyB．22314xyC．22314xyD．22413xy【答案】B【分析】建立点M和点A之间的关系式，再利用点A的坐标满足的关系式得到点M的坐标满足的条件，即可求出.【详解】设,Mxy，00,Bxy，由点M是AB的中点，得002202xxyy，可得00222xxyy，又点B在圆C上运动，所以22003xy，将上式代入可得，222223xy，化简整理得点M的轨迹方程为：22314xy.故选：B6．已知12,FF分别为椭圆22:19xEy的左、右焦点，P是椭圆E上一动点，G点是三角形12PFF的重心，则点G的轨迹方程为（）A．2291xyB．2291(0)xyyC．221819xyD．221(0)819xyy【答案】B【分析】设(,),(,)GxyPmn，利用三角形的重心坐标公式可得33mxny，将其代入2219xy可得结果.【详解】12,FF分别为椭圆22:19xEy的左、右焦点，12(22,0),(22,0)FF设(,),(,)GxyPmn，G点是三角形12PFF的重心则22223003mxny，得33mxny，又P是椭圆E上一动点，223319xy，即2291xy，又G点是三角形12PFF的重心，0y所以点G的轨迹方程为2291(0)xyy故选：B7．将2216xy上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，得到曲线C，若直线l与曲线C交于,AB两点，且AB中点坐标为2,1M，那么直线l的方程为（）A．240xyB．240xyC．240xyD．220xy【答案】B【分析】根据变换法则可得曲线C方程为22416xy，再利用点差法求解直线l的斜率与方程即可.【详解】将2216xy上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，则设曲线C上的点坐标为,xy，故,2xy在2216xy上，故22216xy，即曲线C方程为22416xy.设1122,,,AxyBxy，则2211416xy，2222416xy，利用点差法有2222121240xxyy，1212121240yyxxyyxx，又AB中点坐标为2,1M，故1212480yyxx，即121212yyxx，直线l的斜率为12.故直线l的方程为1122yx，化简可得240xy.故选：B8．已知P是圆221:316Fxy上的一动点，点23,0F，线段2PF的垂直平分线交直线1PF于点Q，则Q点的轨迹方程为（）A．22154xyB．22149xyC．22145xyD．221045xyx【答案】C【分析】由题意有2QPQF，从而有1214QFQFPF，根据双曲线的定义得点Q的轨迹为是以F1、F2为焦点的双曲线．再写出其方程即可.【详解】如图所示：∵P是圆1F上一动点，点2F的坐标为3,0，线段2PF的垂直平分线交直线1PF于点Q，∴2QPQF，1211QFQFQFPFQP，∵P是圆1F上一动点，∴14PF，∴124QFQF，∴23,0F，13,0F，1264FF，∴点Q的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且2a，3c，得5b