素养拓展34 圆锥曲线中的定点、定值问题 （解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展34圆锥曲线中的定点、定值问题（精讲+精练）一、定点问题定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．【一般策略】①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等.②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程.③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程二、定值问题在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．【一般策略】①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值【常用结论】结论1过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）.结论2过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点.结论3过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.结论4过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则kAB为定值.结论5设点A，B是椭圆（ab0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=-一、知识点梳理【典例1】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：222210xyabab的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，3AFFB，3AFFB．(1)求椭圆C的方程；(2)不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、1k、2k.若121kkk，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．【解析】（1）由题意知，,0Aa，,0Ba，,0Fc，∵3AFFB，=3AFFB，∴+=3+=3acacacac，解得=2=1ac，从而222==3bac，∴椭圆C的方程为22143xy.（2）设直线l的方程为ykxm，11Mxy，，22Nxy，．直线l不过点A，因此2+0km．由22+=143=+xyykxm，得2223+4+8+412=0kxkmxm，Δ0时，1228+=3+4kmxxk，2122412=3+4mxxk，∴121212121212122242224kxxkmxxmyykkxxxxxx22222241282+2++43+43+4=4128+2+43+43+4mkmkkmmkkmkmkk221223==244+4mkmkmkmk，由121kkk，可得3=2kmk，即5mk，故l的方程为5ykxk，恒过定点5,0．二、题型精讲精练【典例2】已知椭圆22221(0)xyabab，离心率为12，点(0,2)G与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点直线OM，ON的斜率之积等于34，试探求OMN的面积是否为定值，并说明理由．【解析】解：（1）椭圆22221(0)xyabab离心率为12，即12cea，点(0,2)G与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，2a，1c，3b，故椭圆方程为22143xy．（2）由直线与椭圆交于M，N两点，联立22143ykxmxy，得222(34)84(3)0kxkmxm，设1(Mx，1)y，2(Nx，2)y，则△22222(8)16(34)(3)48(43)0kmkmkm，122834kmxxk，21224(3)34mxxk，所以22222222221212121222121212()()()4(3)8(34)3(4)34(3)4(3)4OMONyykxmkxmkxxmkxxmkmkmmkmkkkxxxxxxmm，22243mk，222221222434343||||1||11342kmmMNkxxkkkm，原点O到l的距离2||1mdk，222||143||||132221OMNMNmmSdkmk为定值．【题型训练1-刷真题】一、解答题1．（22·23·全国·高考真题）已知椭圆2222:1(0)Cbbxaay的离心率是53，点2,0A在C上．(1)求C的方程；(2)过点2,3的直线交C于,PQ两点，直线,APAQ与y轴的交点分别为,MN，证明：线段MN的中点为定点．【答案】(1)22194yx(2)证明见详解【分析】（1）根据题意列式求解,,abc，进而可得结果；（2）设直线PQ的方程，进而可求点,MN的坐标，结合韦达定理验证2MNyy为定值即可.【详解】（1）由题意可得222253babccea，解得325abc，所以椭圆方程为22194yx.（2）由题意可知：直线PQ的斜率存在，设1122:23,,,,PQykxPxyQxy，联立方程2223194ykxyx，消去y得：222498231630kxkkxkk，则2222Δ64236449317280kkkkkk，解得0k，可得2121222163823,4949kkkkxxxxkk，因为2,0A，则直线11:22yAPyxx，令0x，解得1122yyx，即1120,2yMx,同理可得2220,2yNx，则1212121222232322222yykxkxxxxx12211223223222kxkxkxkxxx1212121224342324kxxkxxkxxxx222222323843234231084949336163162344949kkkkkkkkkkkkkkk，所以线段MN的中点是定点0,3.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．2．（21·22·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过30,2,,12AB两点．(1)求E的方程；(2)设过点1,2P的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MTTH．证明：直线HN过定点．【答案】(1)22143yx(2)(0,2)【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【详解】（1）解：设椭圆E的方程为221mxny，过30,2,,12AB，则41914nmn，解得13m，14n，所以椭圆E的方程为：22143yx.（2）3(0,2),(,1)2AB，所以2:23AByx，①若过点(1,2)P的直线斜率不存在，直线1x.代入22134xy，可得26(1,)3M，26(1,)3N，代入AB方程223yx，可得26(63,)3T，由MTTH得到26(265,)3H.求得HN方程：26(2)23yx，过点(0,2).②若过点(1,2)P的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kxykMxyNxy.联立22(2)0,134kxykxy得22(34)6(2)3(4)0kxkkxkk，可得1221226(2)343(4)34kkxxkkkxxk，12221228234444234kyykkkyyk，且1221224(*)34kxyxyk联立1,223yyyx可得111113(3,),(36,).2yTyHyxy可求得此时1222112:()36yyHNyyxxyxx，将(0,2)，代入整理得12121221122()6()3120xxyyxyxyyy，将(*)代入，得222241296482448482436480,kkkkkkk显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.3．（21·22·全国·专题练习）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为3,0F，右准线l的方程为：12x．(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上任取三个不同点123,,PPP，使122331PFPPFPPFP，证明：123111FPFPFP为定值，并求此定值．【答案】(1)2213627xy(2)证明见解析，12311123FPFPFP【分析】(1)根据准线的几何性质，求出a，再算出b，可得椭圆方程；(2)根据题设，分别求出123,,FPFPFP与x轴正方向的夹角之间的关系，代入123111FPFPFP中计算即可.【详解】（1）设椭圆方程为22221xyab．因焦点为(30)F，，故半焦距3c，又右准线l的方程为2axc，从而由已知221236aac，，因此6a，222733bac，故所求椭圆方程为2213627xy；（2）记椭圆的右顶点为A，并设iiAFP（i1，2，3），不失一般性，假设1203，且2123，3143．又设点iP在l上的射影为iQ，因椭圆的离心率12cea，从而有2cosiiiiiaFPPQecFPec1(9cos)2iiFP(123)i，，．解得1211cos92iiFP(123)i，，．因此11112311121243coscoscos9233FPFPFP，而11124coscoscos33111111313coscossincossin02222，故12311123FPFPFP为定值．综上，椭圆方程为2213627xy；12311123FPFPFP.【点睛】本题的难点在于运用椭圆上的点到焦点的距离表达为到准线的距离乘以离心率，再对123111FPFPFP运用三角函数计算化简.4．（19·20·山东·高考真题）已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点2,1A．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得DQ为定值．【答案】（1）22163xy；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于