素养拓展32 椭圆、双曲线中的焦点三角形问题(解析版)

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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)素养拓展32椭圆、双曲线中的焦点三角形问题(精讲+精练)一、椭圆、双曲线中的焦点三角形面积公式1.如图1所示,1F、2F是椭圆的焦点,设P为椭圆上任意一点,记12FPF,则12PFF的面积2tan2Sb.证明:如图,由余弦定理知22221212122cos4FFPFPFPFPFc.①由椭圆定义知:122PFPF,②则②·2-①得21221cosbPFPF,122212112sinsintan221cos2FPFbSPFPFb△.当90时,1222tan45FPFSbb△.2.如图2所示,1F、2F是双曲线的焦点,设P为双曲线上任意一点,记12FPF,则12PFF的面积2tan2bS.证明:如图,由余弦定理知2221212122cosPFPFPFPFFF,22121212122cos2PFPFPFPFPFPFFF,2212122cos222PFPFaPFPFc,22122cos14PFPFac,2212221cossin2bbPFPF,∴12221221sin2sincos2222sintan22FPFbbSPFPF△.当90时,1222tan45FPFSbb△.一、知识点梳理二、椭圆、双曲线的焦点三角形中的离心率1.如图1所示,在焦点三角形背景下求椭圆的离心率,一般结合椭圆的定义,关键是运用已知条件研究出12PFF的三边长之比或内角正弦值之比.公式:1212121221sin22sinsinFFFPFcceaaPFPFPFFPFF2.如图2所示,在焦点三角形背景下求双曲线的离心率,一般结合双曲线的定义,关键是运用已知条件研究出12PFF的三边长之比或内角正弦值之比.公式:1212122112sin22sinsinFFFPFcceaaPFFPFFPFPF.【典例1】设1F、2F是椭圆22184xy的两个焦点,点P在椭圆上,1260FPF,则12PFF的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式,12243tan4tan3023PFFSb.【典例2】已知双曲线22:13yCx的左、右焦点分别为1F、2F,点P在C上,且1260FPF,则12PFF的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式,122333tan30tan2PFFbS.【典例3】(2018·新课标Ⅱ卷)已知1F、2F是椭圆C的两个焦点,P是椭圆C上的一点,若12PFPF,且2160PFF,则C的离心率为()A.312B.23C.312D.31【解析】解法1:如图,12PFPF,2160PFF,故可设122FF,则13PF,21PF,二、题型精讲精练所以C的离心率121223131FFePFPF.解法2:如图,2112126030PFFPFFPFPF121221sinsin9031sinsinsin30sin60FPFePFFPFF.【典例4】已知1F、2F是双曲线2222:1xyCab的左、右焦点,点P在C上,12PFPF,且1230PFF,则双曲线C的离心率为_______.【解析】解法1:如图,由题意,不妨设21PF,则13PF,122FF,所以121223131FFePFPF.解法2:如图,由题意,2160PFF,1290FPF,所以121221sin31sinsinFPFePFFPFF.【题型训练-刷模拟】1.椭圆中的焦点三角形①离心率公式的直接应用一、填空题1.设1F、2F是椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点,P在C上且1PFx轴,若1230FPF,则椭圆C的离心率为_______.【答案】23【解析】如图,1230FPF且1PFx,故可设22PF,则13PF,121FF,所以椭圆C的离心率121212323FFePFPF.解法2:如图,12211123060FPFPFFPFFF121221sinsin3023sinsinsin90sin60FPFePFFPFF2.在ABC中,ABAC,1tan3ABC,则以B、C为焦点,且经过点A的椭圆的离心率为_______.【答案】104【解析】如图,不妨设3AB,1AC,则10BC,所以104BCeABAC.解法2:如图,110310tansinsin31010ABCABCACBsin10sinsin4BACeABCACB.3.过椭圆222210xyabab的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于A、B两点,椭圆的右焦点为2F,若21cos8AFB,则椭圆的离心率为_______.【答案】473【解析】解法1:如图,12221212121177coscos212sinsin8844AFAFBAFFAFFAFFAF,不妨设17AF,24AF,则123FF,所以1212347347FFeAFAF.解法2:如图,2211coscos28AFBAFF221211712sinsin84AFFAFF12213sincos4FAFAFF1212213sin474sinsin3714FAFeAFFAFF.4.在ABC中,2AB,1BC,且6090ABC,若以B、C为焦点的椭圆经过点A,则该椭圆的离心率的取值范围为_______.【答案】52,23【解析】解析:如图,设6090ABC则2222cos54cosACABBCABBCABC,160900cos352AC,而12BCeABACAC,所以5223e.5.在PAB中,PAAB,12tanPBA,则以A、B为焦点,且经过点P的椭圆的离心率为_______.【答案】512【解析】如图,由题意,不妨设1PA,则2AB,5PB,所以251215ABePAPB.6.设1F、2F是椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点,点P在C上,且1245PFF,214cos5PFF,则椭圆C的离心率为_______.【答案】532【解析】如图,212143cossin55PFFPFF,12122121180135FPFPFFPFFPFF,所以1221212172sinsin135sin135coscos135sin10FPFPFFPFFPFF,故121221sin532sinsinFPFePFFPFF.7.在ABC中,30ABC,3AB,1BC,若以B、C为焦点的椭圆经过点A,则该椭圆的离心率为_______.【答案】312【解析】2222cos1ACABBCABBCABC1AC椭圆的离心率312BCeABAC.8.过椭圆2222:10xyCabab的左焦点F作x轴的垂线交椭圆C于A、B两点,若ABO是等腰直角三角形,则椭圆C的离心率为_______.【答案】512【解析】如图,设椭圆C的右焦点为1F,ABO是等腰直角三角形AFO也是等腰直角三角形,不妨设1AFOF,则12FF,15AF,所以椭圆C的离心率121251215FFeAFAF.解法2:ABO是等腰直角三角形AFO也是等腰直角三角形,22bAFOFcbaca22222510102acaccacaeee.9.设1F、2F是椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点,过1F且斜率为3的直线l与椭圆C交于A、B两点,212AFFF,则椭圆C的离心率为_______.【答案】23【解析】解法l:如图,直线AB的斜率为12360AFF,又212AFFF,所以2190AFF,1230FAF,不妨设121FF,则12AF,23AF,所以椭圆C的离心率121212323FFeAFAF.解法2:如图,直线AB的斜率为12360AFF,又212AFFF,所以2190AFF,1230FAF,故椭圆C的离心率121221sin23sinsinFAFeAFFAFF.10.设1F、2F是椭圆2222:10xyEabab的左、右焦点,以12FF为直径的圆与椭圆的4个交点和1F、2F恰好构成一个正六边形,则椭圆E的离心率为_______.【答案】31【解析】如图,由题意,21ABFCDF是正六边形,所以1260AFF,2130AFF,1290FAF,故椭圆E的离心率121221sin31sinsinFAFeAFFAFF.11.已知P、Q为椭圆2222:10xyCabab上关于原点对称的两点,点P在第一象限,1F、2F是椭圆C的左、右焦点,2OPOF,若1133QFPF,则椭圆C的离心率的取值范围为_______.【答案】2,312【解析】如图,2121212OPOFOPFFPFPF显然四边形12PFQF是矩形,所以12QFPF,由题意,1133QFPF,所以2133PFPF,设12PFF,则213tan3PFPF,所以30,又点P在第一象限,所以21PFPF,故tan1,即45,所以3045,椭圆C的离心率121221sin111sinsinsinsin90sincos2sin45FPFePFFPFF,由3045可得754590,所以62sin4514,故2312e.②综合应用一、单选题1.设12,FF为椭圆22:15xCy的两个焦点,点P在C上,若120PFPF,则12PFPF()A.1B.2C.4D.5【答案】B【分析】方法一:根据焦点三角形面积公式求出12PFF△的面积,即可解出;方法二:根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出.【详解】方法一:因为120PFPF,所以1290FPF,从而122121tan4512FPFSbPFPF,所以122PFPF.故选:B.方法二:因为120PFPF,所以1290FPF,由椭圆方程可知,25142cc,所以22221212416PFPFFF,又12225PFPFa,平方得:22121212216220PFPFPFPFPFPF,所以122PFPF.故选:B.2.已知1F、2F是椭圆2222:10xyCabab的两个焦点,P为椭圆C上一点,且12PFPF.若12PFF△的面积为9,则实数b的值为()A.3B.4C.5D.6【答案】A【分析】根据椭圆的性质、三角形面积公式以及勾股定理,利用完全平方公式,可得答案.【详解】由题意,122PFPFa,1212192PFFSPFPF,即1218PFPF,222124PFPFc,整理可得22121224PFPFPFPFc,224364ac,则229ac,解得3b.故选:A.3.已知1F,2F分别为椭圆22:11612xyC的两个焦点,P为椭圆C上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