素养拓展31 圆锥曲线中焦半径和焦点弦公式的应用（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展31圆锥曲线中焦半径和焦点弦公式的应用（精讲+精练）一、椭圆的焦半径和焦点弦公式【焦半径形式1】椭圆22221xyab0ab的左、右焦点分别为1F、2F，点00,Pxy为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径1PF和2PF可按下面的公式计算：（1）10PFaex；（2）20PFaex（记忆：左加右减）【焦半径形式2】椭圆222210xyabab的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设PFO，则椭圆的焦半径2cosbPFac，若延长PF交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦22222cosabPQac.二、双曲线的焦半径和焦点弦公式【焦半径形式1】双曲线22221xyab0,0ab的左、右焦点分别为1F、2F，点00,Pxy为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径1PF和2PF可按下面的公式计算：（1）10PFexa；（2）20PFexa（记忆：左加右减）一、知识点梳理【焦半径形式2】双曲线222210,0xyabab的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设PFO，则双曲线的焦半径2cosbPFca，若直线PF交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦22222cosabPQac.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负）三、抛物线的焦半径和焦点弦公式【焦半径形式1】设点00,Pxy在抛物线上，11,Axy、22,Bxy，AB是抛物线的焦点弦，则抛物线的坐标版焦半径、焦点弦公式如下表：标准方程22ypx0p22ypx0p220xpyp220xpyp图形焦半径公式02pPFx02pPFx02pPFy02pPFy焦点弦公式12ABxxp12ABpxx12AByyp12ABpyy【焦半径形式2】直线AB过抛物线22(0)ypxp的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，设α为AB的倾斜角（1）弦长AB＝2psin2α（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥122xx＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p.（3）cos1||pAF，cos1pBF，1|AF|＋1|BF|为定值2p.【典例1】椭圆22162xy的左、右焦点分别为1F、2F，点P在椭圆上，则12PFPF的取值范围为_______.【解析】由题意，6a，2c，63e，设00,Pxy，其中066x，则10663PFx，20663PFx，所以2120262,63PFPFx【典例2】双曲线2213yx的左、右焦点分别为1F、2F，双曲线上的一点P满足1235PFPF，则点P的坐标为_______.【解析】由题意，1a，3b，2c，2e，由焦半径公式，1021PFx，2021PFx，因为1235PFPF，所以00321521xx，解得：02x或18（舍去）代入双曲线的方程可求得03y，所以P的坐标为2,3.【典例3】过抛物线2:4Cyx焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，若3AF，则BF_____.【解析】设AFO，则231cosAF，所以1cos3，故231cos2BF.【典例4】抛物线2:2Cyx的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l被抛物线C截得的弦长为______.【解析】解法1：由题意，1,02F，设1:32lyx，代入22yx整理得：233504xx，设两根为1x和2x，则1253xx，故直线l被抛物线C截得的弦长12813Lxx.解法2：直线l被抛物线C截得的弦长22228sinsin603pL.二、题型精讲精练【题型训练-刷模拟】1.椭圆的焦半径和焦点弦公式一、单选题1．已知1F，2F是椭圆22:143xyC的两个焦点，点M在椭圆C上，当12MFMF取最大值时，三角形12MFF面积为（）A．23B．3C．2D．4【答案】B【分析】根据椭圆的焦半径公式和椭圆中的,xy的范围可求得12MFMF取最大值时，点M在椭圆的短轴上.【详解】设点M的坐标为11,Mxy，根据椭圆的焦半径公式可得：1121112,222MFxMFx则有：2121144MFMFx根据椭圆的特点，可知：122x可得：当10x时，12MFMF取最大值此时，点M在椭圆的短轴上，则有：123MFFS△故选：B2．已知动点P在椭圆C：2212516xy上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足1MF，且MPMF，则PM的最小值为（）A．3B．2C．3D．1【答案】C【分析】由已知可得2||1PMPF，只需求出min||PF即可，再利用两点之间的距离公式计算即可得到答案.【详解】由已知，(3,0)F，设(,)Pxy，则22161625xy，因P在椭圆上，所以55x，所以22293253(3)625525535PFxyxxxx，所以当5x时，min||2PF，又MPMF，所以2||1PMPF，所以2minmin||13PMPF.故选：C【点睛】本题考查椭圆中的焦半径的最值问题，涉及到两点间的距离公式，考查学生的等价转化的思想，是一道中档题.3．已知椭圆22:143xyC的右焦点为F，若过F的直线l与椭圆C交于AB、两点，则AFBF的取值范围是（）A．1,24B．1,34C．1,33D．1,22【答案】C【分析】首先证明椭圆22:143xyC上的点000,,2,2Pxyx的到右焦点F的距离为0122PFx，当,AB分别为椭圆的顶点时AFBF取最值，进而可得结果.【详解】在椭圆22:143xyC中，1,0F，设000,,2,2Pxyx为椭圆22:143xyC上任意一点，即2200143xy，解得2200344yx，由两点间距离公式可知：220001122PFxyx，由上式可得当A为椭圆的右顶点时，AF最小，此时211AF，当B为椭圆的左顶点时，BF最大，此时213AF，此时AFBF的最小值为13，同理可得AFBF的最大值为3，即AFBF的取值范围是1,33，故选：C.4．已知P为椭圆2211615yx上任意一点，EF为圆22:(1)1Nxy的任意一条直径，则PEPF的取值范围是（）A．[0,24]B．[8,24]C．(0,24)D．(8,24)【答案】B【分析】用PO表示,PEPFuuruuur进行数量积运算后转化为求椭圆上点到焦点N的最大值和最小值问题．【详解】由题意(0,1)N椭圆的下焦点，EF是圆N的直径，则22()()()()PEPFPNNEPNNFPNNEPNNEPNNE21PN，椭圆2211615yy中4,1ac，椭圆上的P到焦点N的距离的最大值为5ac，最小值为3ac，所以21PN的最大值为24，最小值为8．所以PEPF的取值范围[8,24]．故选：B．5．已知O为坐标原点，椭圆22:143xyC的左、右焦点分别为1F、2F，P为第一象限内C上一点．若122PFPF，则直线OP的斜率为（）A．157B．4157C．154D．15【答案】C【分析】根据椭圆的定义结合已知条件求出2PF，设点,Pxy，其中02x，0y，根据两点间的距离公式求出点P的坐标，进而可求得直线OP的斜率.【详解】在椭圆C中，2a，3b，则221cab，所以，点11,0F、21,0F，因为1212224PFPFPFPFa，可得243PF，设点,Pxy，其中02x，0y且22334xy，222222341213242244223xxxxPFxyxxx，解得43x，则223453433y，可得153y，即点415,33P，因此，直线OP的斜率为1501534403OPk.故选：C.6．已知椭圆C：222210xyabab的右焦点为F，点P，Q为第一象限内椭圆上的两个点，且60OFPPFQ，2FPFQ，则椭圆C的离心率为（）A．12B．13C．23D．2【答案】C【分析】设点1122(,),(,)PxyQxy，用椭圆的离心率e，半焦距c及a表示出12,xx，再由2FPFQ探求出12,xx的关系即可作答.【详解】设点1122(,),(,)PxyQxy，右焦点为(c,0)F，椭圆的离心率为cea，222bca，222222222221111111122||()(2)2()bcPFxcyxcxcbxxcxaexaaa1aex，同理2||QFaex，如图，过P，Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，因60OFPPFQ，则||2||,||2||PFFMQFFN，即112()aexcx，222()aexxc，于是得1222,22cacaxxee，又||2||FPFQ，则122()cxxc，即1223xxc，因此得242322cacacee，即2142322eeeee，整理得2(32)(1)0ee，而01e，则23e，所以椭圆C的离心率为23.故选：C7．如图，椭圆22:154xyC的左､右焦点分别为1F，2F，过点1F，2F分别作弦AB，CD.若//ABCD，则12AFCF的取值范围为（）A．165,455B．165,455C．85,255D．85,455【答案】C【分析】分直线斜率不存在和存在两种情况，当直线AB的斜率不存在，可求出点,AB的坐标，从而可得12AFCFAB，当直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为(1)(0)ykxk，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，表示出12xx，从而可表示出1AF，1BF，进而可表示12AFCF【详解】由椭圆的对称性可知ABCD，12AFDF，12BFCF.设点11,Axy，22,Bxy.若直线AB的斜率不存在，则点451,5A，451,5B，所以855AB，所以12AFCFAB855.若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为(1)(0)ykxk，联立22(1),1,54ykxxy消去y整理得222245105200kxkxk，0，则21221045kxxk.又222211111145114555AFxyxxx，同理可得12555BFx，所以212122525||2525545kAFCFABxxk218525,25525552k，所以1285,255AFCF.综上，12AFCF的取值范围为85,255，故选:C.8．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为F，离心率为e．倾斜角为120的直线与C交于,AB两点，并且满足21ABAFBFe，则C的离心率为（）A．12B．33C．32D．63【答案】A【详解】设1122,,,AxyBxy，则2211AFxcy，由2211221(0)xyabab，消去1y，得222222222222