素养拓展3 与大学高等数学接轨的三类函数（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展03与大学高等数学接轨的三类函数（精讲+精练）高考数学与高等数学知识(如欧拉公式、高斯函数、狄利克雷函数)的接轨，常以小题的形式呈现，意在考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养．因此在复习备考中，有意识地加强这方面的训练是很有必要的，这有利于培养个人的探究、创新精神，拓宽思维，提升核心素养．【题型训练】1.欧拉公式1．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式（EulerFormula）iπe10被数学家们称为“宇宙第一公式”.（其中无理数e2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274），如果记e小数点后第n位上的数字为m，则m是关于n的函数，记为mfn.设此函数定义域（domain）为A，值域（range）为B，则关于此函数，下列说法正确的有（）A．58fB．函数fn的图像是一群孤立的点C．n是m的函数D．BA【答案】ABD【分析】根据mfn的定义可知A正确；由nN可知B正确；根据函数定义可知C错误；根据AN，mN可知D正确.【详解】对于A，e小数点后第5位上的数字为8，58f，A正确；对于B，nN，fn的图像是一群孤立的点，B正确；对于C，由e的值可知：当8m时，3,5,7,n，不符合函数的定义，C错误；对于D，由题意知：AN；又mN，BA，D正确.故选：ABD.2．（单选题）（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式（EulerFormula）iπe10被数学家们二、题型精讲精练一、知识点梳理称为“宇宙第一公式”.（其中无理数e2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274），如果记e小数点后第n位上的数字为m，则m是关于n的函数，记为mfn.设此函数定义域（domain）为A，值域（range）为B，则关于此函数，下列说法正确的有（）A．58fB．函数fn的图像是一群孤立的点C．n是m的函数D．BA【答案】A【分析】利用欧拉公式即可判断①，逆用欧拉公式即可判断②【详解】①iπe1cosπisinπ111=0②ππ2π2π9π9πcosisincosisincosisin101010101010π2π9ππ2π9π9πi+++iiii10101010101029π9π=eeeeecosisini22则①②均正确故选：A3．（填空题）（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）欧拉公式icosisine，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列{}na的通项公式为ππcosisin(1,2,3,)20222022nnnan，则数列{}na前2022项的乘积为__.【答案】i【分析】根据题意，πi2020ππcosisin20202000nnnnae，然后根据指数运算法则求积，再根据等差数列求和公式化简，最后根据定义求结果.【详解】因为icosisine，所以πi2022ππcosisin20222022nnnnae，所以π2π2022ππ2π2022π2023πiiii()i2022202220222022202220222122022aaaeeeee2023π2023πππcosisincos(1011π)isin(1011π)i2222.故答案为:i.2.高斯函数一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数yx，x表示不超过x的最大整数，例如1.11，21.1.已知4fxxx，1,62x，则函数fx的值域为（）A．4,6,8B．4,5,6C．4,5,6,7,8D．4,8【答案】C【分析】根据题意4yxx，将其变形分析其取值范围结合取整函数yx，即可求得结果.【详解】易知4yxx，1,62x在1,22上单调递减，2,6上单调递增.当2x时，44yxx；当12x时，182y；当6x时，4263yxx；所以4174,2xx，则函数fx的值域为4,5,6,7,8.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数fxx称为高斯函数，其中xR，x表示不超过x的最大整数，例如：21.1，2.52，则方程214xxx的所有解之和为（）A．12B．34C．32D．74【答案】C【分析】xR，kZ，使211kxk，可得122kkx，2242kxk，分类讨论k为奇数和偶数的情况，求出k的值，再代入求解即可.【详解】解：xR，kZ，使211kxk，则[21]xk，可得122kkx，2242kxk，若k为奇数，则12kZ，所以1[]2kx，12142kxxkx，则12222kkkk，解得13k，1k或3k，当1k时，102x，[]0x，[21]1x，111040,42xx，当3k时，312x，[]1x，[21]3x，331411,2xx，若k为偶数，则2kZ，所以[]12kx，21142kxxkx，则22122kkkk，解得2k，0k或2k，当0k时，102x，[]1x，[21]0x，11104,042xx当2k时，112x，[]0x，[21]2x，10242xx，因此，所有解之和为：111314422，故选：C.【点睛】结论点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.3．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：yxxR，x表示不超过x的最大整数，如1.62，1.61，22，已知e11e12xxfx，则函数yfx的值域为（）A．0B．1,0C．1,0,1D．2,1,0【答案】C【分析】先进行分离，然后结合指数函数与反比例函数性质求出()fx的值域，结合已知定义即可求解．【详解】因为e1132e1221exxxfx又e11x，所以2021ex，所以2201ex所以3213,21e22xfx，则()[()]gxfx的值域1,0,1．故选：C．4．（2023秋·江苏南京·高三南京师大附中校考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数.例如：3.64,3.63.已知函数1e21exxfx，则函数yfxfx的值域是（）A．1,0B．0C．0,1D．1,0,1【答案】A【分析】依题意可得1121exfx，再根据指数函数的性质讨论0x，0x和0x时，函数的单调性与值域，即可得出答案.【详解】因为1e11e11111121e21e21e21exxxxxxfx，定义域为R，因为1exy在定义域上单调递增，则11exy在定义域上单调递减，所以1121exfx在定义域R上单调递减，0x时，111e0,1,,1,0,,01e22xxfxfx，00f0x时，111e1,,0,,,0,11e22xxfxfx；则0x时，101,fxfx0x时，011fxfx，0x时，000fxfx.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解题关键在于理解题中高斯函数的定义，才能通过研究fx的性质来研究yfxfx的值域，突破难点.二、多选题1．（2023春·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，如：1.21，1.22，yx又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A．Rx，22xxB．Rx，1[][2]2xxxC．,xyR，若[][]xy，则有1xyD．方程23[]1xx的解集为{7,10}【答案】CD【分析】取1.5x，23x，22x，A错误，取0x，11[]22xx，[2]0x，B错误，[][]xym，则xm，1ym，故1xy，C正确，计算31322x，2x或3x，D正确，得到答案.【详解】对选项A：取1.5x，则23x，22x，错误；对选项B：取0x，11[]22xx，[2]0x，错误；对选项C：[][]xym，则xm，1ym，故1xy，正确；对选项D：23[]1xx，故2323[]131xxxx，解得31322x，故2x或3x，故7x或10x，正确.故选：CD2．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考开学考试）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过的最大整数，则yx称为高斯函数，例如3.24，2.32．已知函数21122xxfx，则关于函数gxfx的叙述中正确的是（）A．fx是奇函数B．fx在R上是减函数C．gx的值域是1,0D．3333log1log2log3log243857【答案】ACD【分析】利用奇偶性的定义判断A，利用函数单调性的结论判断B，由单调性求出fx的取值范围，结合定义判断C，利用对数函数的值域结合定义判