素养拓展23 数列中的数学文化（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展23数列与数学文化（精讲+精练）新课程标准进一步明确了数学文化在教学中的地位，数学文化作为素养考查的四大内涵之一，以数学文化为背景的试题将是新高考的考察内容，数列与数学文化有着紧密的联系，本专辑总结了数学文化在数列中出现的真题和模拟题。【典例1】（单选题）（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AABBCCDD是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DDCCBBAA是举，1111,,,ODDCCBBA是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DDCCBBAAkkkODDCCBBA．已知123,,kkk成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则3k（）A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9【答案】D【分析】设11111ODDCCBBA，则可得关于3k的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设11111ODDCCBBA，则111213,,CCkBBkAAk，依题意，有31320.2,0.1kkkk，且111111110.725DDCCBBAAODDCCBBA，所以30.530.30.7254k，故30.9k，故选：D二、题型精讲精练一、知识点梳理【典例2】（单选题）（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列nb：1111b，212111b，31231111b，…，依此类推，其中(1,2,)kkN．则（）A．15bbB．38bbC．62bbD．47bb【答案】D【分析】根据*1,2,kkN…，再利用数列nb与k的关系判断nb中各项的大小，即可求解.【详解】[方法一]:常规解法因为*1,2,kkN，所以1121，112111，得到12bb，同理11223111，可得23bb，13bb又因为223411,11112233411111，故24bb，34bb；以此类推，可得1357bbbb…，78bb，故A错误；178bbb，故B错误；26231111…，得26bb，故C错误；11237264111111…，得47bb，故D正确.[方法二]：特值法不妨设1,na则1234567835813213455b2,bb,bb,bb,b2358132134，，，，47bb故D正确.【题型训练-刷模拟】一、单选题1．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（）A．130B．132C．134D．141【答案】B【分析】利用等差数列求和公式及素数的定义即可求解.【详解】由题可知，2到20的全部整数和为1192202092S，2到20的全部素数和为223571113171977S，所以挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为20977132.故选：B.2．（2023·广东深圳·校考二模）宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，记自上而下第n层的圆球总数为na，容易发现：11a，23a，36a，则105aa（）A．45B．40C．35D．30【答案】B【分析】根据题意，归纳推理，第n层的圆球总数个数表达式，再将10n，5，代入求解即可．【详解】当1n时，第1层的圆球总数为11a，当2n时，第2层的圆球总数为2123a，当3n时，第3层的圆球总数为31236a，..．所以第n层的圆球总数为112...2nnnna，当5n时，5155152a，当10n时，1051100512a，故10540aa．故选：B．3．（2023·湖南郴州·校联考模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（）A．102B．103C．104D．105【答案】C【分析】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为na，求出其通项，结合条件列不等式求出结果.【详解】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为na，由已知1na是2的倍数，也是7的倍数，故1na为14的倍数，所以1na首项为0，公差为14的等差数列，所以1413nan，令11456na，可得114131456n，又Nn解得1104n，且Nn，故获得精品足球的人数为104.故选：C.4．（2023·全国·模拟预测）离子是指原子由于自身或外界的作用而失去或得到一个或几个电子后达到的稳定结构，得到电子为阴离子，失去电子为阳离子，在外界作用下阴离子与阳离子之间可以相互转化．科学家们在试验过程中发现，在特定外界作用下，1个阴离子可以转化为1个阳离子和1个阴离子，1个阳离子可以转化为1个阴离子，如果再次施加同样的外界作用，又能产生同样的转化．若一开始有1个阴离子和1个阳离子，则在9次该作用下，阴离子的个数为（）A．87B．89C．91D．93【答案】B【分析】作用后的阳离子个数是作用前阴离子个数，作用后的阴离子个数是作用前阴阳离子个数之和，然后逐次推断即可.【详解】由题目知，作用后的阳离子个数是作用前阴离子个数，作用后的阴离子个数是作用前阴阳离子个数之和。现在有1个阴离子和1个阳离子，经过逐次作用后：作用次数阳离子个数阴离子个数011112223335458581361321721348345595589则在9次该作用下，阴离子的个数为89.故选：B.5．（2023·四川·校联考模拟预测）“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以正方形ABCD的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且16AB，则这127个正方形中，最小的正方形边长为（）A．1B．2C．2D．22【答案】C【分析】由题意可得不同边长的正方形的个数，构成以1为首项，2为公比的等比数列，从而可得小正方形的种类数，再由正方形的边长构成以16为首项，22为公比的等比数列，即可得到结果.【详解】依题意，不同边长的正方形的个数，构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以211222127n，即1212712n，解得7n，即有7种边长不同的正方形；又正方形的边长构成以16为首项，22为公比的等比数列.因此，最小的正方形边长71721622a.故选:C6．（2023·河北·统考模拟预测）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列、如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列na，其前七项分别为2，2，3，5，8，12，17．则该数列的第20项为（）A．173B．171C．155D．151【答案】A【分析】根据题意得到na的通项公式即可得到答案.【详解】根据题意得新数列为0,1,2,3,4，则二阶等差数列na的通项公式为1222nnna，则20191821732a故选：A.7．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考三模）为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（）元（参考数据：111.27.5，121.29）A．35200B．43200C．30000D．32000【答案】D【分析】根据题意，由条件可得数列14000na是首项为4800，公比为1.2的等比数列，再由等比数列的通项公式即可得到结果.【详解】设2022年6月底小王手中有现款为1120%80008008800a元，设2022年6月底为第一个月，以此类推，设第n个月底小王手中有现款为na，第1n个月月底小王手中有现款为1na，则112800nnaa，即140001.24000nnaa，所以数列14000na是首项为4800，公比为1.2的等比数列，∴1112400048001.2a，即1112400048001.240000a，年所得收入为40000800032000元.故选：D.8．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）欧拉是18世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字，例如初等几何中的欧拉线、多面体中的欧拉定理、微分方程中的欧拉方程，以及数论中的欧拉函数等等．个数叫互质数）的正整数（包括1）的个数，记作n．例如：小于或等于4的正整数中与4互质的正整数有1，3这两个，即42．记nS为数列6n的前n项和，则12S（）A．12122325B．122615C．121312D．121312【答案】B【分析】根据题意，得到1626nn，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，若正整数6nm≤，且与6n不互质，则这个数为偶数或3的倍数，共有263n个，所以1166263nnn，即数列6n是首项为2，公比为6的等比数列，所以121212261261615S．故选：B.9．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记na为图中虚线上的数1,3,6,10,构成的数列na的第n项，则50a的值为（）A．1275B．1276C．1270D．1280【答案】A【分析】根据题意分析可得1,2nnaann，利用累加法运算求解.【详解】由题意可得：12132431,2,3,4,aaaaaaa