素养拓展19 等差数列中Sn的最值问题（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展19等差数列中Sn的最值问题（精讲+精练）一、等差数列的通项公式和前n项和公式1.等差数列的通项公式如果等差数列{}na的首项为1a，公差为d，那么它的通项公式是1(1)naand．2.等差数列的前n项和公式设等差数列{}na的公差为d，其前n项和11()(1)22nnnaannSnad．注：数列{}na是等差数列⇔2nSAnBn（、AB为常数）．二、等差数列的前n项和的最值1.公差0{}nda为递增等差数列，nS有最小值；公差0{}nda为递减等差数列，nS有最大值；公差0{}nda为常数列．2.在等差数列{}na中（1）若100，ad，则满足1mmaa的项数m使得nS取得最大值mS；（2）若100，ad，则满足1mmaa的项数m使得nS取得最小值mS．即若100ad，则nS有最大值（所有正项或非负项之和）；若100ad，则nS有最小值（所有负项或非正项之和）．【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记nS为数列na的前n项和．已知221nnSnan．(1)证明：na是等差数列；二、题型精讲精练一、知识点梳理(2)若479,,aaa成等比数列，求nS的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)78．【分析】（1）依题意可得222nnSnnan，根据11,1,2nnnSnaSSn，作差即可得到11nnaa，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出1a，即可得到na的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】（1）因为221nnSnan，即222nnSnnan①，当2n时，21121211nnSnnan②，①②得，22112212211nnnnSnSnnannan，即12212211nnnannana，即1212121nnnanan，所以11nnaa，2n且N*n，所以na是以1为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得413aa，716aa，918aa，又4a，7a，9a成等比数列，所以2749aaa，即2111638aaa，解得112a，所以13nan，所以22112512562512222228nnnSnnnn，所以，当12n或13n时，min78nS．[方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得413aa，716aa，918aa，又4a，7a，9a成等比数列，所以2749aaa，即2111638aaa，解得112a，所以13nan，即有1123210,0aaaa.则当12n或13n时，min78nS．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出nS的最小值，适用于可以求出nS的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．【题型训练-刷模拟】一、单选题1．（2023·四川泸州·统考三模）记nS为等差数列na的前n项和，已知19a，2410aa，则nS的最小值为（）A．25B．35C．45D．55【答案】A【分析】由已知求得公差d，得等差数列前n项和nS，结合二次函数知识得最小值．【详解】设公差为d，则24(9)(9)310aadd，2d，22(1)(9)210(5)252nnnSnnnn，所以5n时，nS取得最小值25．故选：A．2．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列na的前n项和为nS，3573aaa，1111S，则使nS取得最大值时n的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【分析】由等差数列的通项公式、前n项和公式列方程组求得1a和公差d，写出前n项和，由二次函数性质得结论．【详解】等差数列na中，3573aaa，1111S则55552233adaada，51a，∴5111141111011112aadSad，解得19a，2d．∴1922nnnSn2210525nnn，∴当5n时，nS取得最小值．故选：B．3．（2023·全国·高三专题练习）已知无穷等差数列na的前n项和为nS，公差为d，若100，ad，则不正确的（）A．数列na单调递减B．数列na没有最小值C．数列{nS}单调递减D．数列{nS}有最大值【答案】C【分析】根据等差数列的公差0d即可判断AB,根据nS的函数特征即可结合二次函数的性质求解CD.【详解】由于公差0d，所以na单调递减，故A正确，由于na为无穷的递减等差数列，所以B正确，由2111222nnnddSnadnan，故nS为开口向下关于n的二次函数，且对称轴为111202daadd，由于对称轴112ad与1的关系不明确，所以无法确定单调性，但是由于开口向下，故有最大值，故C错误，D正确，故选：C4．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知等差数列na的前n项和为nS，若10110aa，10120aa，则nS取最大值时n的值为（）A．10B．11C．12D．13【答案】A【分析】利用等差数列的性质得出10110,0aa即可求解.【详解】等差数列na，10121120aaa，110a，10110aa，100a，则nS取最大值时，10n.故选：A.5．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知nS为等差数列na的前n项和．若120S，570aa，则当nS取最大值时，n的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】由已知结合等差数列的性质和前n项和公式，可推得60a，70a，从而得解．【详解】因为等差数列na中，112120122Saa，即1120aa，所以112670aaaa，因为57602aaa，即60a，所以70a，由na为等差数列，得6n时，0na；6n时，0na，所以当6n时，nS取得最大值．故选：D.6．（2023·全国·高三专题练习）设数列na为等差数列，nS是其前n项和，且56678,SSSSS，则下列结论不正确的是（）A．0dB．70aC．95SSD．6S与7S均为nS的最大值【答案】C【分析】由767SSa可判断B；由76daa，分析可判断A；由678995782aaaSSaaa可判断C；由56SS，678SSS可判断D.【详解】根据题意，设等差数列na的公差为d，依次分析选项：na是等差数列，若67SS，则7670SSa，故B正确；又由56SS得6560SSa，则有760daa，故A正确；而C选项，95SS，即67890aaaa，可得7820aa，又由70a且0d，则80a，必有780aa，显然C选项是错误的.∵56SS，678SSS，∴6S与7S均为nS的最大值，故D正确；故选：C7．（2023·四川成都·成都外国语学校校考模拟预测）已知等差数列{}na中，514aa，且公差0d，则其前n项和取得最大值时n的值为（）A．8B．9C．10D．11【答案】B【分析】由题意判断出9100,0aa，即可得到答案.【详解】由等差数列的公差0d，514aa知，5140aa，所以9100aa，故9100,0aa，则数列{}na的前n项和取得最大值时n的值为9.故选：B8．（2023·全国·高三专题练习）设nS为等差数列na的前n项和，且*Nn，都有10nnaa，若17180aa，则（）A．nS的最小值是17SB．nS的最小值是18SC．nS的最大值是17SD．nS的最大值是18S【答案】C【分析】通过分析得数列na为递减的等差数列，根据17180aa得170a，180a，即可得到nS有最大值，为17S.【详解】由10nnaa得1nnaa，∴数列na为递减的等差数列，∵17180aa，∴170a，180a，∴当17n且*Nn时，0na，当18n且*Nn时，0na，∴nS有最大值，最大值为17S.故选：C.9．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列na的前n项和为nS，公差为d，若100S，110S，则下列四个命题正确个数为（）①5S为nS的最小值②60a③10a，0d④6S为nS的最小值A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质，即可得60a，50a，从而确定0d，即可逐项判断得答案.【详解】等差数列na中，111116111102aaSa，则60a，故②正确；又1101011056105502aaSaaaa，所以50a，故0d，则1540aad，故③正确；于是可得等差数列na满足10nnaad，其为递增数列，则123450aaaaa，又60a，所以5S为nS的最小值，故①正确，④不正确；则四个命题正确个数为3.故选：C.10．（2023·全国·高三专题练习）数列na是递增的整数数列，若12a，12300naaa，则n的最大值为（）A．25B．22C．24D．23【答案】D【分析】数列na是递增的整数数列，n要取最大值，则递增幅度要尽可能为小的整数，所以，可得na是首项为2，公差为1的等差数列，再利用等差数列的前n项和公式即可求解.【详解】数列na是递增的整数数列，n要取最大值，则递增幅度要尽可能为小的整数.假设递增的幅度为1，12a，1,(1,2,,1)kakkn，1(1)23002nnnS，解得24n，当24n时，124,1nnaa，不满足题意.当23n时，123,25nnaa，满足，所以n的最大值为23.故选：D.11．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设nS为等差数列na的前n项和，且*nN，都有11nnSSnn，若513SS，则（）A．nS的最小值是9SB．nS的最小值是10SC．nS的最大值是9SD．nS的最大值是10S【答案】A【分析】由11nnSSnn结合等差数列的前n项和公式可知数列na为递增的等差数列，由513SS可得90a，100a，即可求出，nS有最小值，且最小值为9S.【详解】由11nnSSnn，得1111221nnnaanaann，即1nnaa，所以数列na为递增的等差数列.因为513SS，所以6789101112130aaaaaaaa，即9100aa，则90a，100a，所以当9n且*nN时，0na；当10n≥且*nN时，0na.因此，nS有最小值，且最小值为9S.故选：A.12．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列na中，前n项和为nS，若150S，160S，则在11Sa，22Sa，…，1515Sa中最大的是（）A．11SaB．88SaC．99SaD．1515Sa【答案】B【分析】由150S，160S，知890,0,0aad，得nS最大值是8S，从而判断结果．【详解】∵等差数列前n项和12nnaanS，由150S，160S，得1158116892