素养拓展16 解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范围）问题（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展16解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范围）问题（精讲+精练）1.正弦定理RCcBbAa2sinsinsin.（其中R为ABC外接圆的半径）2sin,2sin,2sin;aRAbRBcRC（边化角）sin,sin,sin;222abcABCRRR（角化边）2.余弦定理：222222222cos,2cos,2cos.2bcaAbcacbBacabcCab2222222222cos,2cos,2cos.abcbcAbacacBcababC3.三角形面积公式：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21=12(𝑎+𝑏+𝑐)𝑟(𝑟为三角形ABC的内切圆半径)4.三角形内角和定理：在△ABC中，有()ABCCAB222CAB222()CAB.5.基本不等式（优先用基本不等式）①2abab②222abab6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）利用正弦定理2sinaRA，2sinbRB，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。【典例1】若π3A，3a，求ABCS的最大值．建议使用两种方法来解决：二、题型精讲精练一、知识点梳理法一：余弦定理＋不等式．法二：正弦定理＋辅助角公式＋三角形面积公式．【分析】方法一：利用余弦定理和基本不等式可求得9bc，代入三角形面积公式即可求得最大值；方法二：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到π6sin236bcB，结合B的范围，由正弦型函数值域的求法可求得bc的范围，代入三角形面积公式即可求得最大值.解：方法一：由余弦定理得：222222cos9abcbcAbcbc，222bcbc（当且仅当bc时取等号），229bcbcbc，11393sin92224ABCSbcA（当且仅当bc时取等号），ABCS的最大值为934；方法二：由正弦定理得：23sinsinsinbcaBCA，3112sinsin12sinsin12sincossin22bcBCBABBBB2π63sincos6sin33sin23cos236sin236BBBBBB；2π0,3B，ππ7π2,666B，π1sin2,162B，0,9bc，1393sin0,244ABCSbcAbc，ABCS的最大值为934.【典例2】若π3A，3a，求ABC周长的取值范围．建议使用两种方法来解决：法一：余弦定理＋不等式＋三角形三边关系．法二：正弦定理＋辅助角公式．【分析】方法一：利用余弦定理构造方程，根据22bcbc可求得bc的最大值，结合三角形三边关系可求得结果；方法二：利用正弦定理角化边，可将abc化为π6sin36B，结合B的范围，由正弦型函数值域的求法可求得结果.解：方法一：由余弦定理得：22222cos39abcbcAbcbc，又22bcbc（当且仅当bc时取等号），22231944bcbcbc，解得：6bc（当且仅当bc时取等号），又3bca，3,6bc，ABC周长abc的取值范围为6,9；方法二：由正弦定理得：23sinsinsinbcaBCA，π23sin23sin323sin23sin33abcBCBBπ23sin3cos3sin333sin3cos36sin36BBBBBB，2π0,3B，ππ5π,666B，1sin,1π62B，6,9abc，即ABC周长的取值范围为6,9.【题型训练1-刷真题】1．（2022·全国·统考高考真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB．(1)若23C，求B；(2)求222abc的最小值．【答案】(1)π6；(2)425．【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cossin21sin1cos2ABAB化成cossinABB，再结合π02B，即可求出；（2）由（1）知，π2CB，π22AB，再利用正弦定理以及二倍角公式将222abc化成2224cos5cosBB，然后利用基本不等式即可解出．【详解】（1）因为2cossin22sincossin1sin1cos22coscosABBBBABBB，即1sincoscossinsincoscos2BABABABC，而π02B，所以π6B；（2）由（1）知，sincos0BC，所以πππ,022CB，而πsincossin2BCC，所以π2CB，即有π22AB，所以30,,,424BC所以222222222sinsincos21cossincosabABBBcCB2222222cos11cos24cos5285425coscosBBBBB．当且仅当22cos2B时取等号，所以222abc的最小值为425．2．（2020·全国·统考高考真题）ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求ABC周长的最大值.【答案】（1）23；（2）323.【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cosA的形式，进而求得A；（2）方法一：利用余弦定理可得到29ACABACAB，利用基本不等式可求得ACAB的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BCACABACAB，2221cos22ACABBCAACAB，0,A，23A.（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cosBCACABACABA229ACABACAB，即29ACABACAB.22ACABACAB（当且仅当ACAB时取等号），22223924ACABACABACABACABACAB，解得：23ACAB（当且仅当ACAB时取等号），ABC周长323LACABBC，ABC周长的最大值为323.[方法二]：正弦化角（通性通法）设,66BC，则66，根据正弦定理可知23sinsinsinabcABC，所以23(sinsin)bcBC23sinsin6623cos23，当且仅当0，即6BC时，等号成立．此时ABC周长的最大值为323．[方法三]：余弦与三角换元结合在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得229bcbc，即2213924bcc．令13sin,20,223cosbcc，得3sin3cosbc=23sin236，易知当6C时，max()23bc，所以ABC周长的最大值为323．3．（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin30bAa．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．【答案】（I）3B；（II）313,22【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得coscoscosABC的取值范围.【详解】（I）[方法一]：余弦定理由2sin3bAa，得222233sin24aaAbb，即22231cos4aAb.结合余弦定理222cos2bcaAbc，∴2222223124bcaabcb，即224442222222242223bcbcabcbacaac，即444222222220abcacabbc，即44422222222222abcacabbcac，即22222acbac，∵ABC为锐角三角形，∴2220acb，∴222acbac，所以2221cos22acbBac，又B为ABC的一个内角，故3B.[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin3bAa，结合正弦定理可得：32sinsin3sin,sin2BAABABC为锐角三角形，故3B.（II）[方法一]：余弦定理基本不等式因为3B，并利用余弦定理整理得222bacac，即223()acacb.结合22acac，得2acb.由临界状态（不妨取2A）可知3acb.而ABC为锐角三角形，所以3acb.由余弦定理得2222221coscoscos222bcaabcABCbcab，222bacac，代入化简得1coscoscos12acABCb故coscoscosABC的取值范围是313,22.[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有：12coscoscoscoscos23ABCAA131coscossin222AAA311sincos222AA1sin62A.由203202AA可得：62A，2363A，则3sin,162A，1313sin,6222A.即coscoscosABC的取值范围是313,22.【题型训练2-刷模拟】1.面积的最值（范围）问题一、解答题1．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足abcabcab.(1)求角C；(2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值.【答案】(1)2π3C(2)833【分析】（1）由余弦定理边角化即可求解，（2）由面积公式以及基本不等式即可求解.【详解】（1）由abcabcab可得：222abcab，由余弦定理知，2221cos222abcabCabab，又0,πC，因此2π3C.-（2）∵ABCBCDACDSSS△△△，即12π1π1sin2sin223262abba，∴3142abab≥2ab∴ab≥323，当且仅当b=2a，即a=433，b=833取等号∴ABCS=34ab≥833∴△ABC面积的最小值为8332．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2cos2cos2BCA12sinsinBC.(1)求A；(2)若4a，求ABC面积的最大值.