素养拓展14 平面向量中等和线的应用（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展14平面向量中等和线的应用（精讲+精练）一、平面向量共线定理已知OCOBOA，若1，则A，B，C三点共线，反之亦然.二、等和线平面内一组基底OBOA,及任一向量OP，),(ROBOAOP，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.（1）当等和线恰为直线AB时，k=1；（2）当等和线在O点和直线AB之间时，)1,0(k；（3）当直线AB在点O与等和线之间时，),1(k；（4）当等和线过O点时，k=0；（5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数.三、证明步骤如图1，P为AOB所在平面上一点，过O作直线//lAB，由平面向量基本定理知：存在,xyR，使得OPxOAyOB下面根据点P的位置分几种情况来考虑系数和xy的值①若Pl时，则射线OP与l无交点，由//lAB知，存在实数，使得OPAB而ABOBOA，所以OPOBOA，于是=-=0xy②若Pl时，（i）如图1，当P在l右侧时，过P作//CDAB，交射线OAOB，于,CD两点，则一、知识点梳理OCDOAB，不妨设OCD与OAB的相似比为k由,PCD，三点共线可知：存在R使得：(1)(1)OPOCODkOAkOB所以(1-)xykkk（ii）当P在l左侧时，射线OP的反向延长线与AB有交点，如图1作P关于O的对称点P，由（i）的分析知：存在存在R使得：(1)(1)OPOCODkOAOB所以--(1)OPkOAOB，于是--(1-)-xykkk综合上面的讨论可知：图1中OP用,OAOB线性表示时，其系数和xy只与两三角形的相似比有关。我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过O作AB边的垂线l，设点P在l上的射影为P，直线l交直线AB于点1P，则1||||||OPkOP(k的符号由点P的位置确定)，因此只需求出||OP的范围便知xy的范围一般解题步骤：（1）确定单位线（当1时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值；（3）从长度比计算最值.【典例1】设,DE是ABC边,ABBC上的点，12ADAB,若DEABAC，则=（）【解析】因为DEAEAD，所以AEADABAC，因为12ADAB，所以12AEABAC，由于此时等和线为BC，所以112，即12.【典例2】如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且2AD，点P是BCD（含边界）的动点，设OPOCOB，则的最大值为（）二、题型精讲精练【解析】当点P位于点B时，过点B作//GHDC，交,OCOD的延长线于,GH,则OPxOGyOH，且1xy，所以3322OPOBxOGyOHxOCyODOCOD，所以333222xy.故答案为：32.【题型训练-刷模拟】一、单选题1.已知O为ABC的外心，若(0,0),(2,0),1,120,ABACBAC且AOABAC，则（）【解析】过点A作AGBC于G，过点O作OHBC于H，过点O作//EFBC交AC的延长线于E，交AB的延长线于F，因为(0,0),(2,0),1,120,ABACBAC则2AB，从而有7CB,而三角形ABC的外接圆的半径为7121sin12023，所以2221721326OH,且sin120AGBCACAB，所以217AG，所以216713212176ABCAEFSS,所以66,1313ACAEABAF,故661313AOAFAE，由于6611313，因此136.2.在ABC中，M为边BC上的任意一点，点N在线段AM上，且满足13ANNM，若(,)ANABACR，则的值为()A．14B．13C．1D．4【答案】A【解析】设(01)BMtBCt剟，13ANNM，所以11()44ANAMABBM1144ABtBC11()44ABtACAB111()444tABtAC，又ANABAC，所以1111()4444tt．故选：A．3.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若ADABAP，则的最大值为（）A.3B.22C.5D.2【解析】：根据图形可知，当点P在圆上运动到与A点距离最大时有最大值，此时AQAP，过A点作BD的垂线，如图所示垂足分别为M、N，则3ANAMAQAP答案：A4.在ABC中，点D是线段BC上任意一点，且满足APAD3，若存在实数m和n，使得ACnABmBP，则m+n=（）A.32B.31C.32D.31【解析】ACnABmABAPBP，则ACnABmAP)1(，所以311ADAPnm，则32131nm答案：C5.已知抛物线yx42的焦点为F，点)2,0(C，过点F且斜率为1的直线交抛物线于AB两点，点P为抛物线上任意一点，若CBnCAmCP，则m+n的最小值为（）A.31B.21C.32D.43【解析】因CBnCAmCP，则CRCPnm，当等和线相切于抛物线时CRCPnm有最小值，过C作两等和线的垂线，垂足分别为T、S，则CTCSCRCP由抛物线方程为yx42可得直线AB方程为01yx，12xy，故切点为)1,2(P，此时切线方程为01yx，21CS，23CT则31CTCSCRCPnm答案：A6.在矩形ABCD中，1,2ABAD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若APABAD，则+的最大值为()A3B22C5D2【解析】：如图所示：过A作BD的垂线，垂足为H，则AHCECFr，当,PEC，三点共线时，高线最长，即max3(+)3rr7.已知O是ABC内一点，且0OAOBOC，点M在OBC内（不含边界），若AMABAC，则2的取值范围是（）A．51,2B．1,2C．2,13D．1,12【答案】B【解析】因为O是ABC内一点，且0OAOBOC所以O为ABC的重心M在OBC内（不含边界），且当M与O重合时，2最小，此时21113233AMABACABACABAC所以11,33，即21当M与C重合时，2最大，此时AMAC所以0,1，即22因为M在OBC内且不含边界所以取开区间，即21,2所以选B8.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若APxAByAC，则22xy的最大值为（）A．83B．2C．43D．1【答案】A【解析】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设APAEAF，则1，∵BC//EF，∴设AEAFkABAC，则4[0,]3k∴,AEkABAFkAC，APAEAFkABkAC∴,xkyk∴22xy=8223kk（）故选：A.二、填空题1.如图，在同一个平面内，向量OCOBOA,,的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为，且7tan，OB与OC的夹角为45，若),(RnmOBnOAmOC，则m+n=______.【解析】连接AB，过C点作AB的平行线，则ODOCnm，在OAB中，由题意可知45,7tan,1BODAODOBOA,所以54sin,257sinAOBAOD，根据三角形张角定理得122125754OD，所以32OD，则3322ODOCnm答案：32.已知P是ABC内任一点，且满足ACyABxAP，Ryx,，则y+2x的取值范围是_____.【解析】ACyADxACyABxACyABxAP2212（D为AB中点）所以当等和线过点B时，y+2x有最大值2ADAB,当等和线过点A时，y+2x有最小值0ADAA，又因P是ABC内任一点，故不能取等号，所以)2,0(2xy答案：)2,0(3.如图，正六边形ABCDEF，P是CDE内（包括边界）的动点，设(,)APABAFR，则的取值范围是____________【解析】：连接,BFAD因为正六边形ABCDEF，由对称性知道BFADADEC，，设BF与AD交于点G，CE与AD交于点H，当P在CE上时，AP在AD上射影最小为AH；当P与D重合时，AP在AD上射影最大为AD；则||||||||AHADAGAG设||ABx，则||||2xAGHD，||||GHBCx，||2ADx，则34