素养拓展1 柯西不等式（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）1.二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bcadRdcbabdacdcba2.二维形式的柯西不等式的变式bdacdcba2222)1(.),,,,,(等号成立时当且仅当bcadRdcbabdacdcba2222)2(.),,,,,(等号成立时当且仅当bcadRdcba.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bcaddcbabdacdcba3.二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(.等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当kk注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如，对222cba，并不是不等式的形状，但变成22222211131cba就可以用柯西不等式了。4.扩展：233221122322212232221)(nnnnbababababbbbaaaa，当且仅当nnbababa:::2211时，等号成立.【题型训练1-刷真题】一、填空题1．（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量,,,(0)abcc满足1,2,0,0abababc.记向量d在,ab方向上的投影分别为x，y，da在c方向上的投影为z，则222xyz的最小值为___________.【答案】25【分析】设(1,0),(02),(,)abcmn，，由平面向量的知识可得252xyz，再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设(1,0),(02),(,)abcmn，，二、题型精讲精练一、知识点梳理则20abcmn，即2mn，又向量d在,ab方向上的投影分别为x，y，所以,dxy，所以da在c方向上的投影221()22||5mxnydacxyzcmn，即252xyz,所以22222222221122152510105xyzxyzxyz，当且仅当215252xyzxyz即251555xyz时，等号成立，所以222xyz的最小值为25.故答案为：25.二、解答题2．（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c均为正数，且22243abc，证明：(1)23abc；(2)若2bc，则113ac．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）方法一：根据22222242abcabc，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得043ac，即可得到1143ac，再根据权方和不等式即可得证.【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式由柯西不等式有222222221112abcabc，所以23abc，当且仅当21abc时，取等号，所以23abc.[方法二]：基本不等式由222abab，2244bcbc，2244acac，222222224244349abcabcabbcacabc，当且仅当21abc时，取等号，所以23abc.（2）证明：因为2bc，0a，0b，0c，由（1）得243abcac，即043ac，所以1143ac，由权方和不等式知22212111293444acacacac，当且仅当124ac，即1a，12c时取等号，所以113ac.【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．【题型训练2-刷模拟】一、解答题1．（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y、z满足23xyza（a为常数），求222xyz的最小值．【答案】214a【分析】利用柯西不等式进行解答即可.【详解】因为23xyza，所以2222222212323xyzxyza，即222214xyza，当且仅当123xyz时等号成立，故222214axyz，即222xyz的最小值为214a．2．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知,,Rabc，且满足236abc，求22223abc的最小值．【答案】6【分析】利用柯西不等式求出最小值.【详解】由柯西不等式，得22221232312233abcabc．得22226232336abcabc．所以222236abc．当且仅当23123abc，即1abc时，上式等号成立．所以22223abc的最小值为6．3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知a，b，c是正实数，且3abc．求证：(1)1abc；(2)222446abc．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三个正数的算术平均数不小于其几何平均数；（2）利用柯西不等式．【详解】（1）因为a，b，c是正实数，所以33abcabc++³，所以31abc（当且仅当1abc时等式成立），即1abc；（2）因为222221111441(221)()94422abcabcabc，当且仅当2211122abc等号成立，所以22234492abc，即222446abc．4．（2023·江西吉安·统考一模）已,,abc均为正数，且4abc，证明：(1)2228497bca；(2)11198acabbc．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用题意构造基本不等式，再利用柯西不等式证明即可；（2）构造基本不等式即可证明.【详解】（1）证明：由柯西不等式可得2222222123()1649bcaabc，当且仅当2497bca时取等号．即22216849147bca，则原式成立；（2）证明：1111111()8acabbcacabbcacabbc3188bcabbccaabacabbccabccaab319222888bcabbccaabcaabbccabccaab．当且仅当43abc时取等号.5．（2023·全国·高三专题练习）已知,,abc均为正数，且满足2223abc.证明：(1)3abc„；(2)1113abc….【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据22293abc，结合柯西不等式证明即可；（2）根据柯西不等式证明1119abcabc…，再根据113abc…证明即可.（1）证明：由柯西不等式有：222222222293111()abcabcabc…，当且仅当1abc时取等号，可得3abc„；（2）证明：由柯西不等式有1119abcabc…，当且仅当1abc时取“号，可得1119abcabc…，又由3abc„，可得113abc…，可得93abc…，故有1113abc…，当且仅当1abc时取“号.6．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设,,abc为正数，且1abc.(1)证明22213abc；(2)证明22212abcabcbccaab.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由柯西不等式可得2222222111abcabc，由此证明结论；（2）由重要不等式结合不等式性质可得222abcabbcca，222abcacbacb，结合不等式性质和柯西不等式证明结论.【详解】（1）因为,,abc为正数，1abc，由柯西不等式可得22222221111abcabc，当且仅当13abc时等号成立，所以22213abc，当且仅当13abc时等号成立；（2）由重要不等式得222abab，当且仅当ab时等号成立，222bcbc，当且仅当bc时等号成立，222caca，当且仅当ca时等号成立，所以222abcabbcca，当且仅当abc时等号成立，同理可得222abcacbacb，当且仅当abc时等号成立，两式相加得2222abcabcbcacab所以2222abcabcbccaababcabcbcacabbccaab21abc，当且仅当13abc时等号成立；即22212abcabcbccaab，当且仅当13abc时等号成立.7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知0,0,1abc，且222422abcc，证明：(1)24abc；(2)若2ab，则1131bc.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由柯西不等式即可证明；（2）由均值的不等式可得11112141911abcbcbcbc，由（1）可得11213abc，即可证明1131bc.【详解】（1）由222422abcc，得2224(1)3abc，由柯西不等式有2222222(2)(1)111(21)abcabc，213abc，当且仅当211abc时等号成立，24abc，当且仅当11,,22abc时等号成立；（2）由2ab可得11114141214155291111bcbcabcbcbcbccbcb，当且仅当12cb时取等，由（1）可得11213abc，当且仅当11,,22abc时等号成立，从而11193121bcabc，当且仅当11,,22abc时等号成立.二、单选题8．（2023·全国·高三专题练习）“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即abcd）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数()254fxxx的最大值及取得最大值时x的值分别为（）A．521,5B．213,5C．1361,13D．6129,13【答案】A【分析】将254xx代入二维形式的柯西不等式的公式中，进行化简即可得到答案．【详解】由柯西不等式可知：22222(254)21(5)(4)5xxxx„所以2545xx，当且仅当245xx即x＝215时取等号，故函数()254fxxx的最大值及取得最大值时x的值分别为521,5