第51讲 二项式定理（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第51讲二项式定理（精讲）题型目录一览①二项展开式中的特定项问题②二项式系数问题③二项展开式中各项系数的和问题④三项展开式的问题⑤两个二项式乘积展开式的系数⑥赋值法一、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题1.二项式定理一般地，对于任意正整数，都有：011()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的rnrrnCab做二项展开式的通项，用1rT表示，即通项为展开式的第1r项：1rnrrrnTCab，其中的系数rnC（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，2.二项式()nab的展开式的特点：①项数：共有1n项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第1r项的二项式系数为rnC，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；④项的系数：二项式系数依次是012rnnnnnnCCCCC，，，，，，，项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）．nnba)(一、知识点梳理3.两个常用的二项展开式：①（）②4.二项展开式的通项公式二项展开式的通项：1rnrrrnTCab0,1,2,3,,rn公式特点：①它表示二项展开式的第1r项，该项的二项式系数是；②字母b的次数和组合数的上标相同；③a与b的次数之和为n．注意：①二项式()nab的二项展开式的第r+1项和()nba的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换位置的．②通项是针对在()nab这个标准形式下而言的，如()nab的二项展开式的通项是（只需把b看成b代入二项式定理）．二、二项式展开式中的最值问题1.二项式系数的性质①每一行两端都是1，即0nnnCC；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即11mmmnnnCCC．②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mnmnnCC．③二项式系数和令1ab，则二项式系数的和为0122rnnnnnnnCCCCC，变形式1221rnnnnnnCCCC．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令11ab，，则0123(1)(11)0nnnnnnnnCCCCC，从而得到：0242132111222rrnnnnnnnnnCCCCCCC．⑤最大值：如果二项式的幂指数n是偶数，则中间一项12nT的二项式系数2nnC最大；011()(1)(1)nnnrrnrrnnnnnnnabCaCabCabCb*Nn122(1)1nrrnnnnxCxCxCxxrnCrnrrnCabrnrrnCba1(1)rrnrrrnTCab如果二项式的幂指数n是奇数，则中间两项12nT，112nT的二项式系数12nnC，12nnC相等且最大．2.系数的最大项求()nabx展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为121nAAA，，，，设第1r项系数最大，应有112rrrrAAAA，从而解出r来．三、二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对a，b的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取a，b的值．①令，可得：②令11ab，，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．（2）若121210()nnnnnnfxaxaxaxaxa，则①常数项：令0x，得0(0)af．②各项系数和：令1x，得0121(1)nnfaaaaa．注意：常见的赋值为令0x，1x或1x，然后通过加减运算即可得到相应的结果．【常用结论】奇数项的系数和与偶数项的系数和①5当n为偶数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2ffaaa；偶数项的系数和为135(1)(1)2ffaaa．（可简记为：n为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）②当n为奇数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2ffaaa；偶数项的系数和为135(1)(1)2ffaaa．（可简记为：n为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）011222nnnnrnrrnnnnnnnabCaCabCabCabCb1ab012nnnnnCCC012301nnnnnnnCCCCC02131nnnnnnnnCCCCCCn0213112nnnnnnnnnCCCCCC若1210121()nnnnfxaaxaxaxax，同理可得．题型一二项展开式中的特定项问题策略方法形如(a＋b)n的展开式问题二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Crnan－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．【典例1】（单选题）已知6axx的展开式中的常数项为160，则实数a（）A．2B．-2C．8D．-8【典例2】（单选题）二项式5212xx展开式中含x项的系数是（）A．52B．52C．54D．54【题型训练】一、单选题1．在622xx的展开式中，第四项为（）A．160B．160C．3160xD．3160x2．62axx展开式中的常数项为－160，则a＝（）A．－1B．1C．±1D．23．52x的展开式中3x的系数为（）A．40B．40C．80D．80二、题型分类精讲4．已知91axx的展开式中的常数项是672，则a（）A．93B．92C．2D．15．二项式812xx的展开式中的常数项为（）A．1792B．－1792C．1120D．－11206．若*13Nnxnx展开式中含有常数项，则n的最小值是（）A．2B．3C．12D．107．91xax的展开式中1x的系数是126，则5a（）A．2B．4C．1D．3二、填空题8．二项式61(2)xx的展开式中的常数项为.9．1021x的展开式的第8项的系数为（结果用数值表示）.10．二项式812xx的展开式中的常数项是.11．若在31nxx的展开式中，第4项是常数项，则n．12．设常数0a，若9axx的二项展开式中5x的系数为144，则a．13．已知112nxnN的展开式中2x的系数是7，则n.题型二二项式系数问题策略方法二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n．【典例1】（单选题）2nxx展开式中的各二项式系数之和为1024，则n的值为（）A．10B．9C．8D．7【典例2】（单选题）若321nxx二项展开式中的各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（）A．252B．210C．10D．210【题型训练】一、单选题1．612x的展开式中二项式系数最大的项是（）A．160B．240C．3160xD．4240x2．已知二项式 21nx的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（）A．6B．7C．8D．93．已知2nxy的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的52xy项的系数为（）A．―4B．84C．―280D．5604．若*31Nnxnx的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则231nxx的展开式中的常数项为（）A．6B．8C．28D．565．若1()nxx的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项6．二项式237121212xxx的展开式中，含2x项的二项式系数为（）A．84B．56C．35D．21二、填空题7．若2nxx展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为.8．若2nxx的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中3x的系数为.9．10112x的展开式中含51x项的二项式系数为.10．612xx的展开式中二项式系数最大的项是.11．已知12nx的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含3x的系数为.12．已知*12Nnxn的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则n.题型三二项展开式中各项系数的和问题策略方法常用赋值法，参考题型六【典例1】（单选题）已知213nxx的展开式中所有项的系数之和为256，则n（）A．3B．4C．6D．8【题型训练】一、单选题1．若61()axx的展开式中常数项等于20，则其展开式各项系数之和为（）A．1B．32C．0D．642．已知13(N)nxnx的展开式中所有项的系数和为512，则展开式中的常数项为（）A．－756B．756C．－2268D．22683．已知8axx的展开式中各项系数之和为0，则展开式中x的系数为（）A．28B．-28C．45D．-454．已知1nx的二项展开式中，第5项与第11项的系数相等，则所有项的系数之和为（）A．162B．152C．142D．132二、填空题5．已知21nx的展开式中，各项系数之和为81，则二项式系数之和为.6．在23nxx的展开式中，二项式系数和是16，则展开式中各项系数的和为．7．已知322nxx的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为．8．已知21nxx的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中4x的系数为．9．在2nxx的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为72964，则二项展开式中的常数项为.10．在32nxx的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为．题型四三项展开式的问题策略方法求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．【典例1】（单选题）5(3)xy的展开式中，3xy的系数为（）A．80B．60C．80D．60【题型训练】一、单选题1．4()xyz的展开式共（）A．10项B．15项C．20项D．21项2．在52xy的展开式中，3xy的系数是（）A．24B．32C．36D．403．811xx的展开式中的常数项为（）A．588B．589C．798D．7994．5(21)xy的展开式中含22xy的项的系数为（）A．120B．60C．60D．305．已知51Rxaax展开式的各项系数之和为1，则展开式中2x的系数为（）A．270B．270C．330D．3306．已知61