第53练 事件的独立性、条件概率和全概率公式（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第53练事件的独立性、条件概率和全概率公式（精练）一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,ppp，且3210ppp．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率p甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率p丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为12，则此时连胜两盘的概率为p甲则21321331231211(1)(1)(1)(1)22ppppppppppppp甲123123()2pppppp；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙，则123123213123(1)(1)()2ppppppppppppp乙记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p丙则132132312123(1)(1)()2ppppppppppppp丙则123123213123123()2()20ppppppppppppppppp甲乙213123312123231()2()20ppppppppppppppppp乙丙即pp甲乙，pp乙丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；刷真题明导向p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D2．（2023·全国·统考高考真题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（）A．0.8B．0.6C．0.5D．0.4【答案】A【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.【详解】同时爱好两项的概率为0.50.60.70.4，记“该同学爱好滑雪”为事件A,记“该同学爱好滑冰”为事件B，则()0.5,()0.4PAPAB，所以()0.4()0.8()0.5PABPBAPA∣.故选:A.二、解答题3．（2023·北京·统考高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用频率估计概率．(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）【答案】(1)0.4(2)0.168(3)不变【分析】（1）计算表格中的的次数，然后根据古典概型进行计算；（2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算；（3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第41天的情况.【详解】（1）根据表格数据可以看出，40天里，有16个，也就是有16天是上涨的，根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：160.440（2）在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4，0.35，0.25，于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是22142C0.4C0.350.250.168（3）由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，因此估计第41次不变的概率最大.4．（2022·全国·统考高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.【答案】(1)47.9岁；(2)0.89；(3)0.0014．【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A{一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式()1()PAPA即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．【详解】（1）平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x550.020650.017750.006850.002)1047.9（岁）．（2）设A{一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89PAPA．（3）设B“任选一人年龄位于区间[40,50)”，C“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得：16%0.16,0.1%0.001,(|)0.023100.23PBPCPBC,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，此人患这种疾病的概率为()(|)()()0.0010.23(|)0.00143750.0014()0.16PBCPCPBCCBPBBPP．三、双空题5．（2023·天津·统考高考真题）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为．【答案】0.0535/0.6【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；根据古典概型的概率公式可求出第二个空．【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6nnn，所以总数为15n，所以甲盒中黑球个数为40%52nn，白球个数为3n；乙盒中黑球个数为25%4nn，白球个数为3n；丙盒中黑球个数为50%63nn，白球个数为3n；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以，0.40.250.50.05PA；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B，黑球总共有236nnnn个，白球共有9n个，所以，93155nPBn．故答案为：0.05；35．6．（2022·天津·统考高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为【答案】1221117【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,则1431411221,(),|1525122152131713BCPBCPBPCBPBP.故答案为：1221；117.【A组在基础中考查功底】一、单选题1．某个班级46名学生中，有男生26名，女生20名，男生中有18名团员，女生中有16名团员．在该班随机选取1名学生，在选到的是团员的条件下，选到的是男生的概率为（）A．1723B．913C．1317D．917【答案】D【分析】利用条件概率公式列式计算即可求解．【详解】记事件A为“选到团员”，事件B为“选到男生”，则181634nA，18nAB，所以1893417nABPBAnA.故选：D．2．某防空导弹系统包含3辆防空导弹发射车，其中8联装，6联装，4联装防空导弹发射车各1辆，当警戒雷达车发现敌机后通知指挥车，指挥车指挥防空导弹发射车发射导弹，每次只选择1辆防空导弹发射车.已知指挥车指挥8联装，6联装，4联装防空导弹发射车发射导弹的概率分别为0.5，0.3，0.2，且8联装，6联装，4联装防空导弹发射车命中敌机的概率分别为0.8，0.6，0.4.在某次演习中警戒雷达车发现一架敌机，则此防空导弹系统发射导弹命中敌机的概率为（）A．0.66B．0.58C．0.45D．0.34【答案】A【分析】根据全概率公式计算即可.【详解】由全概率公式，得此防空导弹系统发射导弹命中敌机的概率为0.50.80.30.60.20.40.66.故选：A.3．某产品在出厂时每5个一等品装成一箱，工人不小心把2件二等品和3件一等品装入了一箱，为找出该箱中的二等品，需要对该箱中的产品逐一取出检验，取出的产品不放回，则“所有二等品被取出时恰取出3件产品检验”的概率为（）A．110B．310C．15D．35【答案】C【分析】“所有二等品被取出时恰取出3件产品检验”,该事件的发生有三步，最后一次必取二等品，前两次有一次取二等品且相互独立，则通过独立事件概率公式即可计算求解.【详解】设事件“所有二等品被取出时恰取出3件产品检验”为A,该事件的发生有三步，最后一次必取二等品，前两次有一次取二等品且相互独立，3212311()5435435PA故选：C.4．厦门地铁1号线从镇海路站到文灶站有5个站点．甲、乙同时从镇海路站上车，假设每一个人自第二站开始在每个站点下车是等可能的，则甲乙在不同站点下车的概率为（）A．13B．23C．34D．45【答案】C【分析】先求出甲乙在相同站点下车的概率，再求甲乙在不同站点下车的概率.【详解】设事件A为甲乙在相同站点下车，则111111111444444444PA，则甲乙在不同站点下车的概率为131144PA.故选：C5．2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（）A．13B．12C．23D．34【答案】B【分析】根据古典概型及条件概率的概率公式计算可得.【详解】记事件A：学生A被抽到，事件B：学生B被抽到，所以2435C3C5PA，1335C3C10PAB，所以3110|325PAPABPBA.故选：B6．现有10名北京冬奥会志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，从中随机地接连抽取3名（每次取一个），派往参与花样滑冰项目的志愿者服务．则“恰有一名女志愿者”的概率是（）A．745B．1445C．715D．1415【答案】C【分析】分三种情况：分别为第一次、第二次、第三次抽取到女志愿者，求出每一种情况的概率，然后利用互斥事件的概率公式求解即可.【详解】设1A，2A，3A分别为第一次、第二次、第三次抽取到女志愿者的事件，则128