第50讲 排列与组合（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第50讲排列与组合（精讲）题型目录一览①两个计数原理②排列问题③组合问题④排列组合综合问题一、两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法完成这件事共有N＝mn种不同的方法二、排列与排列数1.定义：从n个不同元素中取出mmn个元素排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取出mmn个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号mnA表示．2.排列数的公式：!121!mnnAnnnnmnm．特例：当mn时，!12321mnAnnnn；规定：0!1．3.排列数的性质：①11mmnnAnA；②111mmmnnnnAAAnmnm；③111mmmnnnAmAA．4.解排列应用题的基本思路：一、知识点梳理通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，A11mnnnnm常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用!A()!mnnnm．三、组合与组合数1.定义：从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号mnC表示．2.组合数公式及其推导求从n个不同元素中取出m个元素的排列数mnA，可以按以下两步来考虑：第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数mnC；第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数mnA；根据分步计数原理，得到mmmnnmACA；因此121!mmnnmmnnnnmACAm．这里n，mN，且mn，这个公式叫做组合数公式．因为!!mnnAnm，所以组合数公式还可表示为：!!!mnnCmnm．特例：01nnnCC．注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式(1)(2)(1)C!mnnnnnmm常用于具体数字计算，!C!()!mnnmnm常用于含字母算式的化简或证明．3.组合数的主要性质：①mnmnnCC；②11mmmnnnCCC．【常用结论】①排列和组合的区别组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．②解决排列组合综合问题的一般过程（1）认真审题，确定要做什么事；（2）确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；（4）解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．③数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．④定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．题型一两个计数原理策略方法利用两个基本计数原理解决问题的步骤【典例1】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（）A．18B．36二、题型分类精讲C．72D．48【典例2】甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，则不同游览方案的种数为（）A．65B．81C．64D．60【题型训练】一、单选题1．中国人民解放军东部战区领导和指挥江苏､浙江､上海､安徽､福建､江西的武装力量.某日东部战区下达命令，要求从江西或福建派出一架侦察机对台海空域进行侦查，已知江西有m架侦察机，福建有n架侦察机，则不同的分派方案共有（）A．()mn+种B．mn种C．m种D．n种2．某商店共有A，B，C三个品牌的水杯，若甲、乙、丙每人买了一个水杯，且甲买的不是A品牌，乙买的不是C品牌，则这三人买水杯的情况共有（）A．3种B．7种C．12种D．24种3．用1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为（）A．16B．24C．36D．484．高二1、2、3班各有升旗班同学人数分别为：1、3、3人，现从中任选2人参加升旗，则2人来自不同班的选法种数为（）A．12B．15C．20D．215．如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息（）A．26B．24C．20D．196．若3名学生报名参加天文､计算机､文学､美术这4个兴趣小组，每人选1组，则不同的报名方式有（）A．12种B．24种C．64种D．81种7．三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为（）A．18B．21C．24D．278．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A．48B．18C．24D．369．360的不同正因数的个数为（）A．24B．36C．48D．4210．集合{1M，2，3}，{3N，5，6，4}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是（）A．2B．4C．5D．6题型二排列问题策略方法求解排列应用问题的六种常用方法【典例1】计算：(1)23454A5A；(2)12344444AAAA．【典例2】电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？(2)女生互不相邻的坐法有多少种？(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？【题型训练】一、单选题1．计算：25A3!（）A．30B．60C．90D．1202．A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻的不同站法的种数为（）A．48B．96C．144D．2883．下列计算结果为28的是（）A．2246AAB．77CC．28AD．28C4．某一天的课程要排语文、数学、英语、物理、政治、体育、生物共七门课各一节，若物理不排第一节，则排法总数为（）A．66AB．666AC．67AD．665A5．贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有（）种表演顺序.A．88AB．2686CAC．2626AAD．2686AA6．品牌电商服务商是指专门为品牌方提供包括运营、IT、营销、仓储物流、客户服务等内容的综合电子商务服务的商家．某品牌方准备与甲、乙、丙3家服务商进行合作，为此对这3家服务商的运营、IT、营销、仓储物流、客户服务这5项内容进行考察，并根据考察结果对每项内容按照从优到劣分为A，B，C3个等级，则甲服务商的这5项内容等级均高于乙服务商和丙服务商的所有可能情况的种数为（）A．3125B．360C．256D．307．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（）A．36B．72C．81D．1448．已知1893A4Axx，则x等于（）A．6B．13C．6或13D．129．用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为（）A．2301B．2304C．2305D．231010．不等式32A3Axxx的解集是（）A．3xxB．4,NxxxC．34xxD．3,Nxxx11．用数字1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数和偶数互不相邻的个数为（）A．6B．8C．12D．2412．六名同学暑期相约去都江堰采风观景，结束后六名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．120种D．144种13．“缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲､乙､丙､丁､戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（）种不同的出场顺序.A．72B．78C．96D．12014．用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列则第85个数字为（）A．2301B．2304C．2305D．231015．今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（）A．18B．24C．32D．6416．2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分3:0战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（）A．18种B．24种C．30种D．36种17．回文联是我国对联中的一种，用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家酒楼叫“天然居”，一次乾隆路过这家酒楼，称赞楼名的高雅，遂以楼名为题作对联，上联是：“客上天然居，居然天上客”.纪晓岚对曰：“人过大佛寺，寺佛大过人”，乾隆微笑颔首，后“天然居”以此为门联，遂声名大噪.在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”.如66，787，4334等，那么用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成4位“回文数”的个数为（）A．56个B．64个C．81个D．90个二、多选题18．(多选)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的不同的所有四位数