第47讲 随机抽样（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第47讲随机抽样（精讲）题型目录一览①简单随机抽样②分层随机抽样及其应用③统计图表一、抽样1.抽样调查（1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体．（2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体．（3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．二、总体平均数与样本平均数1.总体均值（总体平均数）定义：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为1Y,2Y,,NY，则称1211NNiiYYYYYNN为总体均值，又称总体平均数；如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（kN）个，不妨记为1Y,2Y,,kY，其中iY出现的频率if（1,2,3ik）则总体均值还可以写成加权平均数的形式1211kNiiiYYYYfYNN2.样本均值（样本平均数）定义：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为1y，2y，3yny，则称1211nniiyyyyynn为样本均值，又称样本平均数.一、知识点梳理注：（1）在简单随机抽样中，我们常用样本均值y去估计总体平均数Y；（2）总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（应为样本具有随机性）；（3）一般情况下，样本量越大，估计越准确.三、简单随机抽样1.定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（nN），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．2.两种常用的简单随机抽样方法①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．随机数表由数字0，1，2，…，9组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的．注意：为了保证所选数字的随机性，需在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置．3.抽签法与随机数法的适用情况抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况，但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便．4.简单随机抽样的特征①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析．②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作．③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算．④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．四、分层随机抽样1.分层随机抽样的概念一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.2.分层随机抽样的平均数计算在分层随机抽样中，以层数是2为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为x，y，样本平均数位，则MNmnxyxyMNMNmnmn.我们可以采用样本平均数估计总体平均数W题型一简单随机抽样策略方法1．简单随机抽样的四个特点(1)被抽取样本的总体的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．2．简单随机抽样的适用范围简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)．【典例1】1．下列抽样试验中，适合用抽签法的是（）A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验【答案】B【分析】根据抽签法的特征:个体数以及样本容量较小，且易均匀混合，即可结合选项求解.【详解】选项A中总体中的个体数较大，样本容量也较大，不适合用抽签法；选项B中总体中的个体数较小，样本容量也较小，且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了，可用抽签法；选项C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，不能满足搅拌均匀的条件，不能用抽签法；选项D中总体中的个体数较大，不适合用抽签法.故选：B【典例2】总体由编号为01､02､…､19､20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）78166572080263140702436997280198二、题型分类精讲32049234493582003623486969387481A．08B．04C．02D．01【答案】D【分析】根据随机数表法取出满足条件的个体即可.【详解】由题可知从第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字第一个两位数为65，不满足在01到20之间舍去，依次往后取满足条件的数为：08，02，14，07，01，所以取出的第5个个体是01，故选：D.【题型训练】一、单选题1．某市场监管局从所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了检查，则（）A．该市场监管局的调查方法是普查B．样本容量是该超市的20种冷冻饮品C．总体是超市在售的40种冷冻饮品D．样本的个体是20种冷冻饮品中每种冷冻饮品的质量【答案】D【分析】根据随机抽样概念求解即可.【详解】该市场监管局的调查方法是随机抽样，总体是超市在售的40种冷冻饮品的质量，样本的个体是20种冷冻饮品中每种冷冻饮品的质量，样本容量是20．故选：D2．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（）①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．A．0B．1C．2D．3【答案】A【分析】按照简单随机抽样的定义判断即可.【详解】解：①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本，不满足总体个数为有限个；②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验，不满足逐个抽取；③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，不满足随机抽取；④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里，不满足无放回抽取．综上可得以上均不满足简单随机抽样的定义，故选：A．3．学校举行舞蹈比赛，现从报名的50位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这50位学生按01、02、、50进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第5个号码所对应的学生编号为（）．062743132432532709412512631763232616804560111410957774246762428114572042533237322707360751245179301423102118219137263890014005232617A．43B．25C．32D．12【答案】D【分析】利用随机数表法，按照给定条件一次选取符合要求的号码即可.【详解】从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，去掉超过50和重复的号码，选取的号码依次为：31，32，43，25，12，17，23，26，16，45.所以选出来的第5个号码所对应的学生编号为12.故选：D4．中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，2022年2月4日北京冬奥会开幕式，以二十四节气的方式开始倒计时，惊艳全球.某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有32人，能说出三句或三句以上的有45人，据此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为（）A．23B．92C．128D．180【答案】B【分析】先计算100名学生中能说出一句或一句也说不出的人数，根据抽样比例计算即可【详解】由题意，100名学生中能说出一句或一句也说不出的人数为100324523人故该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为4002392100人故选：B5．某工厂为了对产品质量进行严格把关，从500件产品中随机抽出50件进行检验，对这500件产品进行编号001，002，…，500，从下列随机数表的第二行第三组第一个数字开始，每次从左往右选取三个数字，则抽到第四件产品的编号为（）283931258395952472328995721628843660107343667575943661184479514096949592601749514068751632414782A．447B．366C．140D．118【答案】A【分析】根据随机数表，数字要求500以内（含500），且不重复选取，写出前4个可得答案.【详解】从第二行第三组第一个数字开始，每次从左往右选取三个数字，依次可得：366，010，118，447，…故选：A.6．我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒．则这批米内夹谷约为（）．（结果精确到整数）A．133石B．169石C．337石D．1364石【答案】B【分析】根据给定条件，利用样本频率去估计总体即可计算作答.【详解】依题意，抽取的样本中，谷的频率为2814254127，由此估计1534石米内有谷141534169127(石)，所以这批米内夹谷约为169石.故选：B二、多选题7．下列抽样方法是简单随机抽样的是（）A．质检员从50个零件中一次性抽取5个做质量检验B．“隔空不隔爱，停课不停学”，网课上，李老师对全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的C．老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性D．某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑【答案】AD【分析】根据简单随机抽样的定义，逐项分析判断即可.【详解】选项A：“一次性”抽取与逐个不放回的抽取等价，符合不放回简单随机抽样要求，故正确；选项B：老师表扬的是发言积极的，对每一个个体而言，不具备“等可能性”，故错误；选项C：因为总体容量是无限的，不符合简单随机抽样要求，故错误；选项D：8条跑道，抽取1条，总体有限，每个个体被抽到的机会均等，是简单随机抽样，故正确.故选：AD三、填空题8．为了解一个鱼塘中养殖鱼的生长情况，从这个鱼塘多个不同位置捕捞出100条鱼，分别做上记号，再放回鱼塘，几天后，再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，发现其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计鱼塘中的鱼大概有条．【答案】2000【分析】由题意捕捞出的120条鱼中有6条有记号，故可以算出标记的比例，进而估算鱼塘中鱼的总数.【详解】设鱼塘中的鱼有x条，因为捕捞出的120条鱼中有6条有记号，因此由题意可得1201006x，解得2000x，即鱼塘中的鱼大概有2000条.故答案为：2000.9．欲利用随机数表从00，01，02，L，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为.63016378591695556719981950717512867358074439523879332112342978645607825242074