第46讲 直线与抛物线（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第46讲直线与抛物线（精讲）题型目录一览①直线与抛物线的位置关系②抛物线中的弦长问题③抛物线中的中点弦问题1.直线与抛物线的位置关系设直线mkxyl:，抛物线:022ppxy，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程022222mxpkmxk①若k≠0，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0时，直线与抛物线相离，无交点.②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.2.抛物线的弦长当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与抛物线C相交于1122(,),(,)AxyBxy两个不同的点，则弦长21212211||1||ABkxxyyk.2122124)(1xxxxkak212122124)(1)1(yyyyk(0)k.3.抛物线的中点弦设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入抛物线两式相减，可得)(2))((212121xxpyyyy，2121212yypxxyy.212yypkAB设线段AB的中点为),(00yxM，即0ypkAB，同理，对于抛物线)0(22ppyx，则有pxpxpxxkAB00212224.抛物线的切线过抛物线022ppxy上的点11,yxP的切线方程是11xxpyy.一、知识点梳理过抛物线022ppyx上的点11,yxP的切线方程是11yypxx.【常用结论】直线AB过抛物线22(0)ypxp的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，设α为AB的倾斜角（1）y1y2＝－p2，x1x2＝p24（2）（2）弦长AB＝2psin2α（3）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥122xx＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p.（4）cos1||pAF，cos1pBF，1|AF|＋1|BF|为定值2p.（5）以AB为直径的圆与准线相切．（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.题型一直线与抛物线的位置关系策略方法研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．【典例1】（单选题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2:8Cyx，P为x轴正半轴上一点，线段OP的垂直平分线l交C于,AB两点，若60OAP，则四边形OAPB的周长为（）A．64B．643C．6433D．643【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线2yx=的焦点F的一条直线交抛物线于P、Q两点若线段PF与QF的长分别是p、q，则11pq为定值（）A．1B．2C．3D．42．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知点(4,2)P在抛物线2:2(0)Cxpyp的准线上，过点P二、题型分类精讲作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．20xyB．220xyC．320xyD．240xy3．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）抛物线22(0)ypxp的焦点F，点M在抛物线上，且||3MF，FM的延长线交y轴于点N，若M为线段FN的中点，则p（）A．2B．22C．4D．64．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知抛物线22ypx（0p）的焦点为F，点P是抛物线准线上一动点，作线段PF的垂直平分线l，则直线l与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为（）A．{0}B．{1}C．{0,1}D．{1,2}5．（2023秋·四川宜宾·高三四川省兴文第二中学校校考开学考试）已知抛物线24yx的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别于抛物线交于点C，D．设直线AB，CD的斜率分别为12,kk，则12kk（）A．13B．12C．1D．26．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线2:2Cypx的准线与圆22:11Mxy相切于点A，直线AB与抛物线C切于点B，直线AB的方程为（）A．20xyB．20xyC．20xy或20xyD．220xy或220xy-+=7．（2023秋·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）抛物线2:4Cyx的焦点为,FC的准线与x轴交于点A，过点F斜率为3的直线与C交于点,MN（M在x轴上方），则||||AMAN（）A．32B．2C．3D．528．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）已知直线l交抛物线2:2Cyx于x轴异侧两点,AB，过O向AB作垂线，垂足为D，若点D在以3,0为圆心，半径为3的圆上，则OAOB（）A．48B．24C．12D．369．（2023·河北唐山·模拟预测）已知O为坐标原点，点1,5E是抛物2:2Cypx的准线上一点，过点E的直线l与抛物线C交于A，B两点，若OAOB，则AOB的面积为（）A．45B．85C．43D．8310．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知抛物线C：22ypx的准线为直线=1x，直线1:50lxmy与C交于P，Q两点（点P在x轴上方），与直线=1x交于点R，若||3QF，则QRFPRFSS△△（）A．57B．37C．67D．9711．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，2,1N，M为抛物线C上位于第一象限的一点，且点M的横坐标小于2，则MFN△的面积（）A．有最大值32B．有最小值32C．有最大值1D．有最小值112．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线C：22xpy0p的焦点为F，00,Mxy为C上一动点，曲线C在点M处的切线交y轴于N点，若30FMN，则FNM（）A．60B．45C．30D．1513．（2023·河南·统考三模）已知抛物线2:2(0)Cypxp的准线为:1lx，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于11(,)Pxy，22(,)Qxy两点，点P在l上的射影为P，则下列结论错误的是（）A．若125xx，则7PQB．以PQ为直径的圆与准线l相切C．设(0,1)M，则2PMPPD．过点(0,1)M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条14．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）已知点F是抛物线22(0)ypxp的焦点，(2,0)P，过F斜率为1的直线交抛物线于M，N两点，且16PMPN，若Q是抛物线上任意一点，且(,)PQPMPNR，则的最小值是（）A．0B．13C．12D．115．（2023·青海西宁·统考二模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线22(0)ypxp，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（）A．22pB．2pC．22pD．24p二、多选题16．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知点1,0A，抛物线2:4Cyx的焦点为F，过F的直线l交C于P，Q两点，则（）A．||||PAPF的最大值为2B．APQ△的面积最小值为2C．当||||PAPF取到最大值时，直线AP与C相切D．当||||PAPF取到最大值时，1tan2QAF17．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知抛物线2:4Cxy的焦点为1122,,,,FAxyBxy是抛物线上的两点，O为坐标原点，则（）A．抛物线C的焦点坐标为0,1B．若,,AFB三点共线，则121xxC．若8AB，则AB的中点到x轴距离的最小值为3D．若OAOB，则32OAOB18．（2023·河北保定·统考二模）已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，点K为抛物线C的准线与x轴的交点，过点K的直线l与抛物线C交于不同的两点MN、，则（）A．0FMFNkkB．存在一点Q为MN中点，使得2FQC．存在这样的直线l使45MKF成立D．4FMFN19．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知抛物线2:2Cypx，直线l交抛物线于,AB两点，分别过,AB两点作抛物线的切线，两条切线相交于点P，设M为弦AB的中点，则下列说法正确的是（）A．PM平行于x轴B．若直线l过抛物线的焦点F，则点P一定在抛物线的准线上C．若ABa，则PAB面积的最大值为34apD．PFAPFB三、填空题20．（2023·全国·高三专题练习）已知A，B为抛物线2yx=上两点，以A，B为切点的抛物线的两条切线交于点P，过点A，B的直线斜率为ABk，若点P的横坐标为13，则ABk.21．（2023·福建龙岩·统考二模）已知抛物线2:4Cyx，直线l过点40,3G且与C相交于A，B两点，若AOB的平分线过点1,1E，则直线l的斜率为．22．（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，点2,1Q在抛物线2:2(0)Cxpyp上，过直线2x上一点P作抛物线C的两条切线，切点分别为,MN．则PMPN的取值范围为．23．（2023·山东潍坊·三模）已知过点1,0A的直线1l与抛物线2:2Cyx交于,BD两点，过点A作抛物线的切线2l，切点是M（在x轴的上方），直线MB和MD的倾斜角分别是,，则tan的取值范围为．24．（2023·河北沧州·校考三模）若P为抛物线C：220xpyp在第二象限内一点，抛物线C的焦点为F，直线PF的倾斜角为30，抛物线在点P处的切线与y轴相交于点M.若12OM（O为坐标原点），则MPF△的面积为.25．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知F是抛物线C：28yx的焦点，点2,2P，过点F的直线l与C交于A，B两点，M是线段AB的中点．若2ABPM，则直线l的斜率k．26．（2023·浙江·模拟预测）已知抛物线2:2,CyxP是抛物线上的点，直线l与抛物线C切于点P，直线PQl且与抛物线交于点Q（异于点P），抛物线C在点Q处的切线交l于,TPQT面积的最小值是.27．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：220xpyp，过点0,2D的直线交C于A，B两点，C在A，B两点处的切线交于点,Mab，且1ab．若点M到直线AB的距离为522，则p．四、解答题28．（2023春·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）已知抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点为F，圆22:(1)2Exyp，过C上一点01,My作C的切线，该切线经过点10,4N．(1)求C的方程；(2)若与C相切的直线l，与E相交于P，Q两点，求FPQ△面积的最大值．29．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）设抛物线方程为22yx，过点P的直线,PAPB分别与抛物线相切于,AB两点，且点A在x轴下方，点B在x轴上方.(1)当点P的坐标为1,2时，求AB；(2)点C在抛物线上，且在x轴下方，直线BC交x轴于点N，直线AB交x轴于点M，且32AMBM.若ABC的重心在x轴上，求ABCBMNSS的最大值.（注：S表示三角形的面积）30．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）设抛物线24yx的焦点为,FO是坐标原点，4,0M，过点F的直线与抛物线交于,AB两点，延长,AMBM分别交抛物线于,CD两点，,PQ分别是,