第46练 直线与抛物线（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第46练直线与抛物线（精练）一、多选题1．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线31yx过抛物线2:20Cypxp的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）．A．2pB．83MNC．以MN为直径的圆与l相切D．OMN为等腰三角形二、解答题2．（2023·全国·统考高考真题）已知直线210xy与抛物线2:2(0)Cypxp交于,AB两点，且||415AB．(1)求p；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，0FMFN，求MFN△面积的最小值．3．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，点,0Dp，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3MF．(1)求C的方程；(2)设直线,MDND与C的另一个交点分别为A，B，记直线,MNAB的倾斜角分别为,．当取得最大值时，求直线AB的方程．4．（2021·浙江·统考高考真题）如图，已知F是抛物线220ypxp的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且2MF，刷真题明导向（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线,,MAMBAB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且2RNPNQN，求直线l在x轴上截距的范围.5．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线2:20Cxpyp的焦点为F，且F与圆22:(4)1Mxy上点的距离的最小值为4．（1）求p；（2）若点P在M上，,PAPB是C的两条切线，,AB是切点，求PAB面积的最大值．【A组在基础中考查功底】一、单选题1．已知直线l过点(0,4)，且与抛物线28yx有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（）条A．0B．1C．2D．32．直线310xy与抛物线24yx交于A，B两点，则AB（）A．43B．8C．83D．163．已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若3FPFQ，则QF（）A．72B．2C．52D．834．已知圆2220xyrr与抛物线23yx相交于M，N，且23MN，则r（）A．2B．2C．23D．45．已知O是坐标原点，F是抛物线C：220ypxp的焦点，0,4Px是C上一点，且4PF，则POF的面积为（）A．8B．6C．4D．26．已知直线l过点2,0，且垂直于x轴．若l被抛物线24yax截得的线段长为42，则抛物线的焦点坐标为（）A．1,0B．0,1C．1,2D．2,17．已知抛物线C：28yx，过点2,1P的直线l与抛物线C交于A，B两点，若APBP，则直线l的斜率是（）A．4B．4C．14D．148．若直线3:3lyxm与抛物线C：24yx相切于点A，l与x轴交于点B、F为C的焦点．则BAF（）A．30B．60C．120D．1509．设坐标原点为O，抛物线24yx与过焦点的直线交于A、B两点，则OAOB（）A．34B．34C．3D．310．过点(2,1)Q作抛物线24yx的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为（）A．230xyB．230xyC．230xyD．230xy11．已知抛物线22(0)xpyp上一点0(,2)Ax，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点B，满足2ABFA，则0x（）A．4B．42C．43D．812．设抛物线22(0)ypxp的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且||13OE，则p（）A．2B．3C．6D．1213．斜率为3的直线过抛物线2:4Cyx的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形AOB的面积是（O为坐标原点）（）A．233B．433C．33D．16314．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2:4Cyx，一条平行于x轴的光线1l从点8,4P射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线2l射出，则AB（）A．7B．174C．214D．25415．已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于M，N两点（0My），作MKl，垂足为K，则MKF外接圆的面积为（）A．2πB．8π3C．5πD．16π316．已知抛物线E:24xy的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且0BMBA，则直线l的斜率是（）A．22B．324C．223D．33217．已知抛物线220ypxp的焦点为F，准线为l，过5,0P的直线与抛物线交于A，B两点，与准线l交于C点，若34CAAB，且3FA，则p（）A．4B．12C．4或16D．4或1218．已知抛物线2:20Expyp的焦点为F，A是E上位于第一象限内的一点，过点A作E的切线，交x轴于P点，交y轴于Q点，若30PAF，则AFQ（）．A．60°B．90°C．120°D．150°二、多选题19．（多选）设抛物线28yx的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（）A．2-B．-1C．1D．220．已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，顶点为O，点00(,)Mxy在抛物线C上，若||3MF，则下列各选项正确的是（）A．02xB．以MF为直径的圆与y轴相切C．||13OMD．2OMFS21．已知直线:2lxty与抛物线2:8Cyx交于,AB两点，若线段AB的中点是,2Mm，则（）A．12tB．3mC．8ABD．点2,2在以AB为直径的圆内22．已知圆22:324Cxy，直线:210laxya，直线l与抛物线2:8Dyx交于A，B两点，（）．A．l被圆C截得的弦长的最小值为22B．l被圆C截得的弦长的最小值为2C．若弦AB中点的坐标为2,1，则4aD．若弦AB中点的坐标为2,1，则4a23．已知O为坐标原点，点(1,2)M在抛物线2:2(0)Cypxp上，过焦点F的直线l交抛物线C于,AB两点，则（）A．C的准线方程为1xB．若||4AF，则||21OAC．若||8AB，则AB的中点到y轴的距离为4D．4||||9AFBF24．已知12,Axy，22,Bxy是抛物线220ypxp上的两点，若直线AB过抛物线的焦点F且倾斜角为.则下列命题正确的是（）A．2124pxxB．1222sinpABxxpC．112AFBFpD．12122yyxx三、填空题25．过抛物线214yx的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为45，则线段AB的中点到x轴的距离是．26．已知抛物线22(0)ypxp的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，10AB，AB的中点横坐标为4，则p．27．直线l与抛物线24yx交于两点1122(,),(,)AxyBxy，O为坐标原点，若4OAOB，则12xx.28．已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，过点A，B分别作C的准线的垂线，垂足分别为1A，1B，线段11AB的中点为M，且4MF，则AB.29．已知O为坐标原点，抛物线2:8Cxy的焦点为F，直线l与C交于,AB两点，且AB的中点到x轴的距离为3，则AB的最大值为.30．设F为抛物线C:23yx的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则ABO的面积为.31．已知抛物线2:20Cypxp的准线与x轴交于点M，过M的直线l与C交于,AB两点.若MAAB，则直线l的斜率为.32．已知抛物线C：22xy的焦点为F，过点0,2P作C的一条切线，切点为Q，则FPQ△的面积为33．抛物线C：24yx的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点(4,0)P，则||||AFBF.34．若直线l经过抛物线24xy的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为.35．已知抛物线22xy上两点A，B关于点2,Mt对称，则直线AB的斜率为.36．若A，B是抛物线24yx上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点4,0D，则AB的最大值为．四、解答题37．已知抛物线2:2(0)Eypxp的焦点为F，点F到抛物线准线距离为4．(1)求抛物线E的标准方程；(2)已知BCD△的三个顶点都在抛物线E上，顶点(2,4)B，BCD△重心恰好是抛物线E的焦点F．求CD所在的直线方程．38．直线:2lyxp与抛物线2:20Mypxp交于A，B两点，且5AB．（1）证明：l经过M的焦点，并求p的值；（2）若直线l与M交于C，D两点，且弦CD的中点的纵坐标为3，求l的斜率．39．已知抛物线22(0)ypxp过点1,2．(1)求抛物线的标准方程；(2)过抛物线焦点F作直线l与抛物线交于,CD两点，已知线段CD的中点M横坐标为4，求弦CD的长度．40．已知抛物线C：220ypxp的焦点坐标为1,0．(1)求C的方程；(2)直线l：0xyt与C交于A，B两点，若21OAOB（O为坐标原点），求实数t的值．41．已知抛物线C：220xpyp的焦点到顶点的距离为34.(1)求抛物线C的方程；(2)已知过点0,1M的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为1k，2k，求12kk的值.42．设直线2Rxmym与抛物线22(0)ypxp相交于,AB两点，且OAOB.(1)求抛物线方程；(2)求AOB面积的最小值.43．已知抛物线22ypx（0p）的焦点为F，点02,Ay为抛物线上一点，且4AF.(1)求抛物线的方程；(2)不过原点的直线l：yxm与抛物线交于不同两点P，Q，若OPOQ，求m的值.44．已知抛物线2,yxO为坐标原点，过抛物线焦点F的直线交抛物线于,AB两点.(1)若直线AB的斜率为1，求AB；(2)若OAF△与OBF的面积之差的绝对值为14，求直线AB的方程.45．抛物线C的焦点F到准线l的距离为2.(1)求抛物线的标准方程；(2)过焦点F的直线（斜率存在且不为0）交抛物线C于,AB两点，线段AB的中垂线交抛物线的对称轴于点P，求FPAB.46．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，圆22(1)1yx经过抛物线C的焦点.(1)求C的方程；(2)若直线:40lmxy与抛物线C相交于,AB两点，过,AB两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求ABP面积的最小值.47．已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，点06Ay,在抛物线C上，且10AF．(1)求抛物线C的方程；(2)已知直线l交抛物线C于,MN两点，且点4,2为线段MN的中点，求直线l的方程．48．已知抛物线20:2(0),6,CypxpAy是抛物线C上的点，且10AF.(1)求抛物线C的方程；(2)已知直线l交抛物线C于,MN两点，且MN的中点为4,2，求直线l的方程.【B组在综合中考查能力】一、单选题1．已知抛物线2:8Cyx，过点1,0的直线l交C于A，B两点，则直线OA，OB（O为坐标原点）的斜率之积为（）A．8B．8C．4D．42．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝（）A．2