第45讲 抛物线及其性质（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第45讲抛物线及其性质（精讲）题型目录一览①抛物线的定义及焦半径公式的应用②抛物线的标准方程③抛物线的性质④与抛物线有关的距离和最值问题一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线()lFl的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．二、抛物线的方程、图形及性质图形标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp顶点(00)O，范围0x，yR0x，yR0y，xR0y，xR对称轴x轴y轴焦点(0)2pF，(0)2pF，(0)2pF，(0)2pF，离心率1e准线方程2px2px2py2py焦半径11()Axy，12pAFx12pAFx12pAFy12pAFy一、知识点梳理三、抛物线的其他性质1.点00(,)Pxy与抛物线22(0)ypxp的关系（1）P在抛物线内（含焦点）2002ypx．（2）P在抛物线上2002ypx．（3）P在抛物线外2002ypx．2.焦半径：抛物线上的点00(,)Pxy与焦点F的距离称为焦半径，若22(0)ypxp，则焦半径02pPFx，min2pPF．3.(0)pp的几何意义：p为焦点F到准线l的距离4.焦点弦：①若AB为抛物线22(0)ypxp的焦点弦，11(,)Axy，22(,)Bxy，则有以下结论：（1）2124pxx．（2）212yyp．②焦点弦长公式2：22sinpAB（为直线AB与对称轴的夹角）．5.抛物线的弦若AB为抛物线22(p0)ypx的任意一条弦，1122(,),(,)AxyBxy，弦的中点为000(,)(0)Mxyy，则（1）弦长公式：212122111(0)ABABkxxyykkk（2）0ABpky（3）直线AB的方程为000()pyyxxy（4）线段AB的垂直平分线方程为000()yyyxxp【常用结论】1.切线方程和切点弦方程抛物线22(0)ypxp的切线方程为00()yypxx，00(,)xy为切点切点弦方程为00()yypxx，点00(,)xy在抛物线外与中点弦平行的直线为00()yypxx，此直线与抛物线相离，点00(,)xy（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．2.抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线22(0)ypxp，由()2pAp，，()2pBp，，可得||2ABp，故抛物线的通径长为2p．3.弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：0pyk4.焦点弦的常考性质已知11()Axy，、22()Bxy，是过抛物线22(0)ypxp焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MNl，N为垂足．（1）以AB为直径的圆必与准线l相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；（2）FNAB，FCFD（3）2124pxx；212yyp（4）设BDl，D为垂足，则A、O、D三点在一条直线上题型一抛物线的定义及焦半径公式的应用策略方法抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2．【典例1】（单选题）已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，点M在C上．若M到直线=1x的距离为3，则MF（）A．4B．5C．6D．7【典例2】（单选题）O为坐标原点，F为抛物线2:8Cyx的焦点，M为C上一点，若||6MF，则MOF△的面积为（）A．43B．22C．42D．8xyBFACDNMO二、题型分类精讲【题型训练】一、单选题1．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）已知抛物线220ypxp上的点,2Mmp到其焦点的距离为4，则p（）A．1B．2C．3D．42．（2023·江西·统考模拟预测）已知抛物线24xy的焦点为F，点M在抛物线上，且3MF，则点M到y轴的距离为（）A．4B．23C．22D．33．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，00,Mxy是C上一点，04||3MFx，则0x（）A．1B．2C．3D．44．（2023秋·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知ABC的顶点在抛物线22yx上，若抛物线的焦点F恰好是ABC的重心，则||||||FAFBFC的值为（）A．3B．4C．5D．65．（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知抛物线C：220ypxp的顶点为O，经过点0,2Ax，且F为抛物线C的焦点，若3AFOF，则p＝（）A．12B．1C．2D．26．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若抛物线22xpy（0p）上一点,3Mm到焦点的距离是5p，则p（）A．34B．32C．43D．237．（2023秋·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知点(0,4)F是抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点，点(2,3)P，且点M为抛物线C上任意一点，则||||MFMP的最小值为（）A．5B．6C．7D．88．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）设F为抛物线2:4Cyx的焦点，点A在C上，点3,0B，若AFBF，则ABF△的面积为（）A．1B．2C．4D．29．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线216xy的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（）A．6B．233C．834D．3110．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且60AFB，则||AB（）A．2B．22C．23D．411．（2023·海南·海南中学校考模拟预测）已知直线1:4360lxy和直线2:2lx，抛物线24yx上一动点P到直线1l和2l距离之和的最小值是（）A．3515B．2C．165D．312．（2023秋·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，点P在C上，若点6,3Q，则PQF△周长的最小值为（）．A．13B．12C．10D．813．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）若F是抛物线2:2(0)Cypxp的焦点，P是抛物线C上任意一点，PF的最小值为1，且,AB是抛物线C上两点，线段AB的中点到y轴的距离为2，则AFBF（）A．3B．4C．5D．614．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知抛物线C：22yx的焦点为F，11,Axy，22,Bxy是C上两点，若222121yy则BFAF（）A．12B．22C．2D．215．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知F为抛物线2:4Cyx的焦点，直线:(1)lykx与C交于A，B两点，则4||||AFBF的最小值是（）A．10B．9C．8D．516．（2023春·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）已知抛物线C：220ypxp的焦点为F，抛物线C的准线与坐标轴相交于点P，点3,2M，且MFP的面积为2，若Q是抛物线C上一点，则FMQ△周长的最小值为（）．A．42B．422C．410D．421017．（2023秋·陕西西安·高三阶段练习）已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，点(3,1)A在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且ABF△周长的最小值为45，则p（）A．1B．2C．3D．418．（2023·河南·校联考二模）设F为抛物线2:4Cyx的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且MN平行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若2NFEF，则梯形EFMN的面积为（）A．12B．6C．123D．6319．（2023秋·广东江门·高三校联考阶段练习）已知圆224xy与x轴相交于E，F两点，与抛物线2:2(0)Cypxp相交于A，B两点，若抛物线C的焦点为F，直线BF与抛物线C的另一个交点为D，则DFAF（）A．2B．4C．6D．820．（2023秋·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）已知抛物线21:8Cyx，圆222:21Cxy，若点P、Q分别在1C、2C上运动，且设点4,0M，则PMPQ的最小值为（）．A．35B．45C．34D．12二、多选题21．（2023·河北·校联考模拟预测）若抛物线220xpyp上一点,2Mm到焦点的距离是它到直线21yp的距离的8倍，则该抛物线的焦点到准线的距离可以为（）A．311B．411C．1831D．203122．（2023·全国·高三专题练习）（多选）抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为（）A．(3，26)B．(3，－26)C．(－3，26)D．(－3，－26)23．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知抛物线C：24yx的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若3FAFB，则（）A．53BHB．4AFC．3AFBHD．4AFBH24．（2023秋·广东肇庆·高三德庆县香山中学校考阶段练习）已知抛物线2:4Eyx的焦点为,FA为E上一点，则下列命题或结论正确的是（）A．若AF与x轴垂直，则2AFB．若点A的横坐标为2，则3AFC．以AF为直径的圆与y轴相切D．AF的最小值为2三、填空题25．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）设F为抛物线2:2(0)Cypxp的焦点，点A在C上，过A作y轴的垂线，垂足为M，若2AFAM，则p.26．（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知抛物线22xpy上一点0,2Ax到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则p．27．（2023·全国·高三专题练习）设P是抛物线24yx上的一个动点，则点P到点(1,1)A的距离与点P到直线=1x的距离之和的最小值为．28．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线220ypxp，过其焦点F的直线l与其交与A、B两点，33AFBF，其准线方程为．29．（2023春·河北承德·高三兴隆县第一中学校考阶段练习）已知点0,5A，过抛物线212xy．上一点P作=3y的垂线，垂足为B，若PBPA，则PB．30．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，过点1,0P的直线l与C交于不同的两点M，N.若2NFPF，则MF.31．（2023·河南·校联考模拟预测）已知过抛物线22(0)ypxp的焦点F的直线交抛物线于,AB两点，分别过,AB作准线的垂线，垂足分别为,PQ，准线与x轴交于点M，且3,1MPMQ，则p.32．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知F是抛物线2:8Cyx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若2FMMN，则FN33．（2023秋·上海普陀·高三上海市宜川中学校考阶段练习）00(,)Pxy为抛物线24xy上一点，其中04y，F为抛物线焦点，直线l方程为4y，PHl，H为垂足，则PFPH．34．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）抛物线22(0)ypxp焦点为F，准线上有点(,23),2pMQ是抛物线上一