第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切

第3节三角恒等变换考试要求1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcos__α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝2tanα1－tan2α.3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tanφ＝ba或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)其中tanφ＝ab.1.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).2.降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.3.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.()(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立.()(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()答案(1)√(2)√(3)×(4)√解析(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋kπ(k∈Z).2.(2021·全国乙卷)cos2π12－cos25π12＝()A.12B.33C.22D.32答案D解析因为cos5π12＝sinπ2－5π12＝sinπ12，所以cos2π12－cos25π12＝cos2π12－sin2π12＝cos2×π12＝cosπ6＝32.3.(2021·泰安模拟)2sin47°－3sin17°cos17°＝()A.－3B.－1C.3D.1答案D解析原式＝2×sin47°－sin17°cos30°cos17°＝2×sin（17°＋30°）－sin17°cos30°cos17°＝2sin30°＝1.故选D.4.(2022·南昌质检)若tanα＋π6＝2，则tan2α－2π3＝()A.－2－3B.－43C.2＋3D.43答案B解析tan2α－2π3＝tan2α＋π3－π＝tan2α＋π3＝2tanα＋π61－tan2α＋π6＝41－22＝－43.故选B.5.化简：cos40°cos25°·1－sin40°＝________.答案2解析原式＝cos40°cos25°1－cos50°＝cos40°cos25°·2sin25°＝cos40°22sin50°＝2.6.(易错题)已知锐角α，β满足sinα＝1010，cosβ＝255，则α＋β＝________.答案π4解析因为α，β为锐角，且sinα＝1010＜12，cosβ＝255＞32，则cosα＝31010，且α∈0，π6，sinβ＝55且β∈0，π6，所以sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ＝1010×255＋31010×55＝22.又α＋β∈0，π3，所以α＋β＝π4.第一课时两角和与差的正弦、余弦和正切考点一公式的基本应用1.若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4＝()A.7210B.－7210C.－210D.210答案B解析∵α是第三象限角，∴sinα＜0，且sinα＝－1－cos2α＝－1－－452＝－35，因此，sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝－35×22＋－45×22＝－7210.2.已知sinα＝35，α∈π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为()A.－211B.211C.112D.－112答案A解析∵α∈π2，π，∴cosα＝－45，tanα＝－34，又tan(π－β)＝12，∴tanβ＝－12，∴tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanα·tanβ＝－34＋121＋－12×－34＝－211.3.(2021·德州一模)已知sinα＝sinα＋π3＋13，则cosα＋π6的值为()A.13B.－13C.233D.－233答案B解析由sinα＝sinα＋π3＋13，得sinα＝sinαcosπ3＋cosαsinπ3＋13＝12sinα＋32cosα＋13，则32cosα－12sinα＝－13，即cosα＋π6＝－13.4.若sin(2α－β)＝16，sin(2α＋β)＝12，则sin2αcosβ等于()A.23B.13C.16D.112答案B解析由sin(2α－β)＝16，sin(2α＋β)＝12，可得sin2αcosβ－cos2αsinβ＝16，①sin2αcosβ＋cos2αsinβ＝12，②由①＋②得2sin2αcosβ＝23，所以sin2αcosβ＝13.感悟提升1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.考点二公式的逆用及变形角度1公式的活用例1(1)(多选)(2021·聊城质检)下列选项中，值为14的是()A.sinπ12sin5π12B.13－23cos215°C.1sin50°＋3cos50°D.cos72°·cos36°答案AD解析对于A，sinπ12sin5π12＝sinπ12cosπ12＝12sinπ6＝14，故A正确；对于B，13－23cos215°＝－13(2cos215°－1)＝－13cos30°＝－36，故B错误；对于C，原式＝cos50°＋3sin50°sin50°cos50°＝232sin50°＋12cos50°12sin100°＝2sin80°12sin100°＝2sin80°12sin80°＝4，故C错误；对于D，cos36°·cos72°＝2sin36°·cos36°·cos72°2sin36°＝2sin72°·cos72°4sin36°＝sin144°4sin36°＝14，故D正确.综上，选AD.(2)若α＋β＝－3π4，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝________.答案2解析tan－3π4＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝1，所以1－tanαtanβ＝tanα＋tanβ，所以1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1＋tanα)·(1＋tanβ)＝2.角度2辅助角公式的运用例2化简：(1)sinπ12－3cosπ12；(2)cos15°＋sin15°；(3)1sin10°－3sin80°；(4)315sinx＋35cosx.解(1)法一原式＝212sinπ12－32cosπ12＝2sinπ6sinπ12－cosπ6cosπ12＝－2cosπ6＋π12＝－2cosπ4＝－2.法二原式＝212sinπ12－32cosπ12＝2cosπ3sinπ12－sinπ3cosπ12＝－2sinπ3－π12＝－2sinπ4＝－2.(2)cos15°＋sin15°＝2(cos45°cos15°＋sin45°sin15°)＝2cos(45°－15°)＝2×32＝62.(3)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）2sin10°cos10°.＝4sin（30°－10°）sin20°＝4.(4)315sinx＋35cosx＝6532sinx＋12cosx＝65sinxcosπ6＋cosxsinπ6＝65sinx＋π6.感悟提升1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.2.对asinx＋bcosx化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.训练1(1)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.答案－12解析∵sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1，①cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0，②①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，∴sin(α＋β)＝－12.(2)函数f(x)＝cosx－sinx＋π6－sinx－π6在[0，π]的值域为()A.[－1，1]B.[－2，1]C.[－2，2]D.－12，1答案B解析f(x)＝cosx－32sinx－12cosx－32sinx＋12cosx＝cosx－3sinx＝2cosx＋π3.∵0≤x≤π，∴π3≤x＋π3≤4π3，则当x＋π3＝π时，函数取得最小值2cosπ＝－2，当x＋π3＝π3时，函数取得最大值2cosπ3＝2×12＝1，即函数的值域为[－2，1].考点三角的变换问题例3(1)已知sinα＝255，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6答案C解析因为sinα＝255，sin(β－α)＝－1010，且α，β均为锐角，所以cosα＝55，cos(β－α)＝31010，所以sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinα·cos(β－α)＋cosαsin(β－α)＝255×31010＋55×－1010＝25250＝22，所以β＝π4.(2)已知α，β∈3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝2425，则cosα＋π4＝________.答案－45解析由题意知，α＋β∈3π2，2π，sin(α＋β)＝－35＜0，所以cos(α＋β)＝45，因为β－π4∈π2，3π4，所以cosβ－π4＝－725，cosα＋π4＝cos（α＋β）－β－π4＝cos(α＋β)cosβ－π4＋sin(α＋β)sinβ－π4＝－45.(3)(2022·沈阳质量监测)若sinθ＋π8＝13，则sin2θ－π4＝________.答案－79解析法一因为cos2θ＋π4＝cos2θ＋π8＝1－2sin2θ＋π8＝1－2×132＝79，cos2θ＋π4＝sinπ2－2θ＋π4＝sinπ4－2θ＝－sin2θ－π4＝79，所以sin2θ－π4＝－79.法二因为cos2θ＋π4＝cos2θ＋π8＝1－2sin2θ＋π8＝1－