第11讲 对数与对数函数（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第11讲对数与对数函数（精讲）题型目录一览①对数式的化简与求值②对数函数的图像与性质③解对数方程与不等式④对数函数的综合应用★【文末附录-对数运算与对数函数思维导图】1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0xaNa且1)a，那么数x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0aa且1)a为底，记为logNa，读作以a为底N的对数；②常用对数：以10为底，记为lgN；③自然对数：以e为底，记为lnN；(3)对数的性质和运算法则：①1log0a；log1aa；其中0a且1a；②logNaaN(其中0a且1a，0N)；③对数换底公式：logloglogcacbba；④log()loglogaaaMNMN；⑤logloglogaaaMMNN；⑥loglog(mnaanbbmm，)nR；⑦logabab和logbaab；⑧1loglogabba；2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数logayx(0a且1)a叫做对数函数．对数函数的图象1a01a一、知识点梳理图象性质定义域：(0)，值域：R过定点(10)，，即1x时，0y在(0)，上增函数在(0)，上是减函数当01x时，0y，当1x时，0y当01x时，0y，当1x时，0y【常用结论】在同一坐标系内，当1a时，随a的增大，对数函数的图象愈靠近x轴；当01a时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．(见下图)一、单选题1．（2020·山东·统考高考真题）函数1lgfxx的定义域是（）A．0,B．0,11,C．0,11,UD．1,【答案】B【分析】根据题意得到0lg0xx，再解不等式组即可.【详解】由题知：0lg0xx，解得0x且1x.xyx=1(1,0)xalogOxyx=1(1,0)xalogOyx11a增大a增大xxxxa4a3a2a1loglogloglogO二、题型分类精讲刷真题明导向所以函数定义域为0,11,.故选：B2．（2022·天津·统考高考真题）化简48392log3log3log2log2的值为（）A．1B．2C．4D．6【答案】B【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式2233111(2log3log3)(log2log2)2322343log3log2232，故选：B3．（2021·天津·统考高考真题）若2510ab，则11ab（）A．1B．lg7C．1D．7log10【答案】C【分析】由已知表示出,ab，再由换底公式可求.【详解】2510ab，25log10,log10ab，251111lg2lg5lg101log10log10ab.故选：C.4．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足5lgLV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（10101.259）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6【答案】C【分析】根据,LV关系，当4.9L时，求出lgV，再用指数表示V，即可求解.【详解】由5lgLV，当4.9L时，lg0.1V，则10.110101110100.81.25910V.故选：C.5．（2020·全国·统考高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：0.23(53)()=1etIKt，其中K为最大确诊病例数．当I(*t)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．69【答案】C【分析】将tt代入函数0.23531tKIte结合0.95ItK求得t即可得解.【详解】0.23531tKIte，所以0.23530.951tKItKe，则0.235319te，所以，0.2353ln193t，解得353660.23t.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.6．（2020·海南·高考真题）已知函数2()lg(45)fxxx在(,)a上单调递增，则a的取值范围是（）A．(2,)B．[2,)C．(5,)D．[5,)【答案】D【分析】首先求出fx的定义域，然后求出2()lg(45)fxxx的单调递增区间即可.【详解】由2450xx得5x或1x所以fx的定义域为,1(5,)因为245yxx在(5,)上单调递增所以2()lg(45)fxxx在(5,)上单调递增所以5a，故选：D7．（2021·天津·统考高考真题）函数2ln||2xyx的图像大致为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当0,1x时，0fx，排除D，即可得解.【详解】设2ln||2xyfxx，则函数fx的定义域为0xx，关于原点对称，又2ln||2xfxfxx，所以函数fx为偶函数，排除AC；当0,1x时，2ln0,20xx，所以0fx，排除D.故选：B.8．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（）A．当220T，1026P时，二氧化碳处于液态B．当270T，128P时，二氧化碳处于气态C．当300T，9987P时，二氧化碳处于超临界状态D．当360T，729P时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【分析】根据T与lgP的关系图可得正确的选项.【详解】当220T，1026P时，lg3P，此时二氧化碳处于固态，故A错误.当270T，128P时，2lg3P，此时二氧化碳处于液态，故B错误.当300T，9987P时，lgP与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.当360T，729P时，因2lg3P,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：D9．（2021·天津·统考高考真题）设0.3212log0.3,log0.4,0.4abc，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．cabC．bcaD．acb【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出,,abc的范围即可求解.【详解】22log0.3log10，0a，122225log0.4log0.4loglog212，1b，0.3000.40.41，01c，acb.故选：D.10．（2022·天津·统考高考真题）已知0.72a，0.713b，21log3c，则（）A．acbB．bcaC．abcD．cab【答案】C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【详解】因为0.70.7221120log1log33，故abc.故答案为：C.11．（2020·全国·统考高考真题）设3log2a，5log3b，23c，则（）A．acbB．abcC．bcaD．cab【答案】A【分析】分别将a,b改写为331log23a，351log33b，再利用单调性比较即可.【详解】因为333112log2log9333ac，355112log3log25333bc，所以acb.故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.12．（2021·全国·统考高考真题）设2ln1.01a，ln1.02b，1.041c．则（）A．abcB．bcaC．bacD．cab【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数2ln1141fxxx,ln12141gxxx，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】[方法一]：2ln1.01a2ln1.012ln10.012ln120.010.01ln1.02b，所以ba；下面比较c与,ab的大小关系.记2ln1141fxxx，则00f，214122114114xxfxxxxx，由于2214122xxxxxx所以当0x2时，21410xx，即141xx，()0fx¢，所以fx在0,2上单调递增，所以0.0100ff，即2ln1.011.041，即ac；令ln12141gxxx，则00g，21412221214114xxgxxxxx，由于2214124xxx，在x0时，214120xx，所以0gx，即函数gx在[0，+∞)上单调递减，所以0.0100gg，即ln1.021.041，即bc；综上，bca，故选：B.[方法二]：令21ln1(1)2xfxxx221-01xfxx，即函数()fx在（1，+∞)上单调递减10.0410,ffbc令232ln1(13)4xgxxx21303xxgxx，即函数()gx在（1，3)上单调递增10.0410,ggac综上，bca，故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.二、填空题13．（2020·北京·统考高考真题）函数1()ln1fxxx的定义域是____________．【答案】(0,)【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得010xx，0x故答案为：(0,)【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.14．（2020·山东·统考高考真题）若212loglog40x，则实数x的值是______.【答案】14【分析】根据对数运算化简为2log2x，求解x的值.【详解】21222loglog40loglog40xx，即2log2x，解得：14x.故答案为：14三、双空题15．（2022·全国·统考高考真题）若1ln1fxabx是奇函数，则a_____，b______．【答案】12；ln2．【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若0a，则()fx的定义域为{|1}xx，不关于原点对称0a若奇函数的