素养拓展06 导数中的公切线问题（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展06导数中的公切线问题（精讲+精练）一、公切线问题一般思路两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.考法1：求公切线方程已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝.考法2：由公切线求参数的值或范围问题由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．【典例1】若直线ykxb是曲线xye的切线，也是曲线ln2yx的切线，则k______．【解析】设ykxb与xye和ln2yx，分别切于点11,xxe，22,ln2xx，由导数的几何意义可得：1212xkex，即1212xxe，①则切线方程为111xxyeexx，即1111xxxyexexe，或2221ln22yxxxx，即2221ln22yxxxx，②将①代入②得11121xxyexex，又直线ykxb是曲线xye的切线，也是曲线ln2yx的切线，二、题型精讲精练一、知识点梳理则1111121xxxexeex，即11110xex，则11x或10x，即01ke或11kee，故答案为1或1e．【典例2】已知直线ykxb与函数xye的图像相切于点11,Pxy，与函数lnyx的图像相切于点22,Qxy，若21x，且2,1xnn，nZ，则n______．【解析】依题意，可得112112221lnxxekxyekxbyxkxb，整理得2222lnln10xxxx令lnln11fxxxxxx，则1lnfxxx在1,单调递增且120ff，∴存在唯一实数1,2m，使0fmmin10fxfmf，2n2l30f，32n4l30f，43ln450f，54ln560f，∴24,5x，故4n．【题型训练】1.求公切线方程一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）曲线1yx与曲线2yx的公切线方程为（）A．44yxB．44yxC．24yxD．24yx【答案】A【分析】画出图象，从而确定正确选项.【详解】画出21,yyxx以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A选项符合.故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数()fx，若曲线()yfx在点(0,0)处的切线与曲线()yxfx在点(1,2)处点的切线重合，则(2)f（）A．34B．14C．4D．14【答案】B【分析】由(0)0f得0d，然后求得()fx，由20(0)10f求得2c，设()()gxxfx，由(1)2g得(1)2f及0ab，再由(1)2g得3220ab，解得,ab后可得(2)f．【详解】设32()(0)fxaxbxcxda，322(0)0,(),()32fdfxaxbxcxfxaxbxc20(0)210fc，设()()gxxfx，则(1)(1)22gfab，即0ab……①又()()(),(1)(1)(1)2,(1)0gxfxxfxgfff，即3220ab……②由①②可得2,2,2abc，(2)14f.故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数lnfxxx，2gxaxx．若经过点()1,0A存在一条直线l与曲线yfx和ygx都相切，则a（）A．-1B．1C．2D．3【答案】B【分析】先求得()fx在(1,0)A处的切线方程，然后与2gxaxx联立，由Δ0求解【详解】解析：∵lnfxxx，∴1lnfxx，∴11ln11f，∴1k，∴曲线yfx在()1,0A处的切线方程为1yx，由21yxyaxx得2210axx，由440a，解得1a．故选：B4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数21()44,()fxxxgxx，则()fx和()gx的公切线的条数为A．三条B．二条C．一条D．0条【答案】A【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程328810nn，构造函数32881,832fxxxfxxx，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数.【详解】设公切线与fx和gx分别相切于点,,,,24mfmnfnfxx，2,gnfmgxxgnfmnm，解得222nm，代入化简得328810nn，构造函数32881,832fxxxfxxx，原函数在22-00+33，，，，，，极大值200,03ff极小值，故函数和x轴有交3个点，方程328810nn有三解，故切线有3条.故选A.【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点个数问题，即转化为函数图像和x轴的交点问题.5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数22fxxm，3lngxxx，若yfx与ygx在公共点处的切线相同，则m（）A．3B．1C．2D．5【答案】B【分析】设曲线yfx与ygx的公共点为00,xy，根据题意可得出关于0x、m的方程组，进而可求得实数m的值.【详解】设函数22fxxm，3lngxxx的公共点设为00,xy，则0000fxgxfxgx，即200000023ln3210xmxxxxx，解得01xm，故选：B.【点睛】本题考查利用两函数的公切线求参数，要结合公共点以及导数值相等列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.6．（2023·全国·高三专题练习）函数()lnfxx在点00(,())Pxfx处的切线与函数()xgxe的图象也相切，则满足条件的切点的个数有A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【分析】先求直线l为函数的图象上一点0(Ax，0())fx处的切线方程，再设直线l与曲线()ygx相切于点1(x，1e)x，进而可得0001ln1xxx，根据函数图象的交点即可得出结论．【详解】解：()lnfxx，1()fxx，0xx，001()fxx，切线l的方程为0001ln()yxxxx，即001ln1yxxx，①设直线l与曲线()ygx相切于点1(x，1e)x，()exgx，101exx，10lnxx．直线l也为00011(ln)yxxxx即0000ln11xyxxxx，②由①②得0001ln1xxx，如图所示，在同一直角坐标系中画出1=ln,1xyxyx的图象，即可得方程有两解，故切点有2个.故选：C二、填空题7．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）与曲线exy和24xy都相切的直线方程为__________.【答案】1yx【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.【详解】设直线与曲线exy相切于点11,exx，因为exy，所以该直线的方程为111eexxyxx，即111ee1xxyxx，设直线与曲线24xy相切于点222,4xx，因为2xy，所以该直线的方程为222242xxyxx，即22224xxyx，所以112221e2e14xxxxx，解得120,2xx，所以该直线的方程为1yx，故答案为：1yx.8．（2023·全国·高三专题练习）已知e1xfx（e为自然对数的底数），ln1gxx，请写出fx与gx的一条公切线的方程______．【答案】e1yx或yx【分析】假设切点分别为,e1mm，,ln1nn，根据导数几何意义可求得公切线方程，由此可构造方程求得m，代入公切线方程即可得到结果.【详解】设公切线与fx相切于点,e1mm，与gx相切于点,ln1nn，exfx，1gxx，公切线斜率1emkn；公切线方程为：e1emmyxm或1ln1ynxnn，整理可得：e1e1mmyxm或1lnyxnn，1e1e1lnmmnmn，即ln1e1lnmmnmn，1e11e10mmmmm，解得：1m或0m，公切线方程为：e1yx或yx.故答案为：e1yx或yx.9．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知直线l与曲线exy、2lnyx都相切，则直线l的方程为______．【答案】1yx或eyx【分析】分别求出两曲线的切线方程是111ee1xxyxx和2211lnyxxx，解方程121exx，112e11lnxxx，即得解.【详解】解：由exy得exy，设切点为11,exx，所以切线的斜率为1ex，则直线l的方程为：111ee1xxyxx；由2lnyx得1yx，设切点为22,2lnxx，所以切线的斜率为21x，则直线l的方程为：2211lnyxxx．所以121exx，112e11lnxxx，消去1x得22111+ln0xx，故21x或21ex，所以直线l的方程为：1yx或eyx．故答案为：1yx或eyx10．（2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知直线ykxb是曲线ln1yx与2lnyx的公切线，则kb__________.【答案】3ln2【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算kb.【详解】设曲线ln1yx上切点11,ln1Axx，11yx，切线斜率111kx，切线方程1111ln11yxxxx，即11111ln111xyxxxx同理，设曲线2lnyx上切点22,2lnBxx，1yx，切线斜率21kx，切线方程22212lnyxxxx，即2211lnyxxx，所以121121111ln(1)1ln1xxxxxx，解得121212xx，所以2k，1ln2b，3ln2kb.故答案为：3ln2.2.公切线中的参数问题一、单选题