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2019年全国Ⅱ卷文科数学真题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=*x|x−1+,B=*x|x2+,则A∩B=（）A.(−1,+∞)B.(−∞,2)C.(−1,2)D.∅2.设z=i（2+i），则z=（）A.1+2iB.−1+2iC.1−2iD.−1−2i3.已知向量𝐚=（2,3），𝐛=（3,2），则|𝐚−𝐛|=（）A.√2B.2C.5√2D.504.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机抽出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A.23B.35C.25D.155.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙6.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=ex−1，则当x0时，f(x)=（）A.e−x−1B.e−x+1C.−e−x−1D.−e−x+17.设α，β为两个平面，则α//β的充要条件是（）A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行与同一条直线A.α，β垂直于同一平面8.若x=π4，x=3π4是函数f(x)=sinωx（ω0）两个相邻的极值点，则ω=（）A.2B.32C.1D.129.若抛物线y2=2px（p0）的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点，则p=（）A.2B.3C.4D.810.曲线y=2sinx+cosx在点(π，−1)处的切线方程为（）A.x−y−π−1=0B.2x−y−2π−1=0C.2x+y−2π+1=0D.x+y−π+1=011.已知α∈(0，π2)，,2sin2α=cos2α+1，则sinα=（）A.15B.√25C.√33D.2√5512.设F为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a0，b0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点。若|PQ|=|OF|,则C的离心率为（）A.√2B.√3C.2D.√5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若变量x，y满足约束条件{2x+3y−6≥0x+y−3≤0y−2≤0，则z=3x−y的最大值是.14.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.15.ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信得印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是棱数为48的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，且次正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为.（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17.（12分）如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E−BB1C1C的体积.18.（12分）已知*an+是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16.（1）求*an+的通项公式；（2）设bn=log2an，求数列*bn+的前n项和.19.（12分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.Y的分组,−0.20，0),0，0.20),0.20，0.40),0.40，0.60),0.60，0.80)企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）。（精确到0.01）附：√74≈8.60220.（12分）已知F1,F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点。（1）若ΔPOF2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2,且ΔF1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.21.（12分）已知函数f(x)=(x−1)lnx−x−1.证明：（1）f(x)存在唯一的极值点；（2）f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，O为极点，点M（ρ0，θ0）（ρ00）在曲线C：ρ=4sinθ上，直线l过点A（4,0）且与OM垂直，垂足为P.（1）当θ0=π3时，求ρ0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知f(x)=|x−a|x+|x−2|（x−a）.（1）当a=1时，求不等式f(x)0的解集；（2）若x∈（−∞，1）时，f(x)0，求a的取值范围.