考点巩固卷17 空间中的平行与垂直（八大考点）（解析版）

科网（北京）股份有限公司1考点巩固卷17空间中的平行与垂直（八大考点）考点01判断平行，垂直的有关命题1．已知,lm是两条不重合的直线，,是两个不重合的平面，下列结论正确的是（）A．若,,lmlm，则B．若,,lm，则lmC．若,,,lmml，则mD．若,,lm∥，则lm【答案】C【分析】对于A，根据,可能平行、可能相交且不垂直判断；对于B，根据,lm可能平行、可能相交且不垂直、异面且不垂直判断；对于C，根据线面垂直的性质定理判断；对于D，根据lm或异面判断．【详解】对于A，,,lmlm，则,可能平行、可能相交且不垂直，故A不正确；对于B，,,lm，则,lm可能平行、可能相交且不垂直、可能异面且不垂直，故B不正确；科网（北京）股份有限公司2对于C，若,,,lmml，根据线面垂直的性质定理可知m，故C正确；对于D，若,,lm∥，则lm或异面，故D不正确．故选：C．2．直线a，b互相平行的一个充分条件是（）A．a，b都平行于同一个平面B．a，b与同一个平面所成角相等C．a，b都垂直于同一个平面D．a平行于b所在平面【答案】C【分析】根据各选项中的条件判断直线a，b的位置关系，可得出正确的答案.【详解】对于A：若a，b都平行于同一个平面，则a，b平行、相交或异面，故A错误；对于B：若a，b为圆锥的两条母线，它们与底面所成角相等，但它们是相交直线，即a，b与同一个平面所成角相等，不能得出直线a，b互相平行，故B错误；对于C：若a，b都垂直于同一个平面，则a，b互相平行，故C正确；对于D：若a平行于b所在平面，则a，b平行或异面，故D错误；故选：C3．已知平面,，直线,,lab，若,,lab且bl，则“abrr”是“a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据线线垂直、线面垂直和面面垂直的相互转化和必要不充分条件的定义可得答案.【详解】如下图,,lab且bl，abrr，则l//a，此时a，l，所以//a，充分性不成立；若a，因为b，所以abrr，必要性成立，科网（北京）股份有限公司3故“abrr”是“a”的必要不充分条件.故选：B.4．已知,mn是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则有下列命题①//m，//n，////mn；②，m，nmn；③//mn，m，n；④，mm.其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】利用空间中直线、平面间的位置关系逐项判断即可.【详解】①若//m，//n，//，则直线,mn没有交点，,mn异面或//mn，故①不正确；②若，m，n，当,mn均与，的交线平行时，可得//mn，故②不正确；③若//mn，m，则n，又n，则，故③正确；④若，m，则m或//m，故④不正确.其中正确命题的个数为1.故选：B.5．设,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）A．若,mnn∥∥，则//mB．若,mn∥∥，则mn∥C．若,,mnmn∥∥∥，则∥D．若,,mn，则mn【答案】D【分析】由空间中的线面关系，结合特例法判断ABC，根据两平面的法向量的位置关系判断两直线的位置关系判断D.【详解】对于A，若,mnn∥∥，则//m或m，错误；对于B，若,mn∥∥，,mn的位置关系不确定，可以平行、相交、异面直线，错误；科网（北京）股份有限公司4对于C，若,,mnmn∥∥∥，则∥或者，相交，错误；对于D，若,mn，可得,mn的方向向量分别是,的法向量，因为，所以,的法向量垂直，所以,mn的方向向量垂直，则mn，正确.故选：D.6．若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（）A．内不存在与m异面的直线B．内存在与m平行的直线C．内存在唯一一条直线与m相交D．内存在与m垂直的直线【答案】D【分析】利用图形判断A选项；利用反证法可判断B选项；设mA，取内所有过点A的直线可判断C选项；利用线面垂直的性质可判断D选项.【详解】因为直线m不平行于平面，且m，则直线m与平面相交，对于B选项，若内存在与m平行的直线b，则//bm，且m，b，则//m，与题设矛盾，B错；对于A选项，如下图所示：设mA，设直线a满足Aa，且a，在平面内存在直线b，使得//ba，且b，由A选项可知，m与b不平行，若mbB，则A、Bm，且A、B，从而有m，与题设矛盾，故m与b异面，即在平面内存在直线与直线m异面，A错；对于C选项，设mA，则平面内所有过点A的直线均与直线m相交，C错；对于D选项，设mA，在直线m上取异于点A的一点P，设点P在平面内的射影为点Q，连接AQ，在平面内存在直线a，使得aAQ，因为PQ，a，则aPQ，因为PQAQQ，PQ、AQ平面PAQ，所以，a平面PAQ，因为m平面PAQ，所以，am，故内存在与m垂直的直线，D对.科网（北京）股份有限公司5故选：D.考点02平行的判定定理7．下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足//AB平面MNP的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由AB与平面MNP相交，判断A；由ABEM∥，结合E不在平面NGFMPH判断B；由线面平行的判定判断C；由中位线定理判断D.【详解】对于A：连接,MBNC，由图可知，AB与平面MNP相交，故不满足//AB平面MNP，故A错误；对于B：如图所示，,,,GHFE分别是所在棱的中点，连接,,,,NHNGGFFMEM则平面MNP和平面NGFMPH为同一平面，因为ABEM∥，因为EM与平面NGFMPH相交，所以不满足//AB平面MNP，故B错误；科网（北京）股份有限公司6对于C：连接AD，交MN与点O，连接PO，因为O，P分别为,ADBD中点，所以//POAB，由线面平行的判定定理可知，//AB平面MNP，故C正确；对于D：,,DFE分别是所在棱的中点，连接,,,,,DNNFFMMEPEDP，AC，平面DNFMEP与平面MNP为同一平面，取AC的中点为O，连接MO，由中位线定理可知，ABMO∥，因为MO与平面MNP相交，所以不满足//AB平面MNP，故D错误；故选：C8．如图，在直三棱柱111ABCABC-中，D，F分别是11,ABAB的中点．(1)若E为CD的中点，O为侧面11BCCB的中心，证明：//OE平面1AFC；(2)若1111,2,3ACBCADAC，侧面11ABBA为菱形，求三棱锥11AACF的体积．【答案】(1)证明见解析(2)7【分析】（1）连接1BC，1BD，证得1//EODB，进而证得1//AFDB，结合线面平行的判定定理，即可得证；科网（北京）股份有限公司7（2）根据题意，结合1111AACFAACFVV，利用锥体的体积公式，即可求解.【详解】（1）证明：连接1BC，1BD．因为O为侧面11BCCB的中心，且侧面11BCCB为矩形，所以O是1BC的中点．因为E为CD的中点，所以1//EODB，因为,DF分别是AB，11AB的中点，且11//ABAB且11ABAB所以11,//ADFBADFB，所以四边形1ADBF是平行四边形，所以1//AFDB，又因为1//EODB，所以//AFEO，AF平面1AFC，OE平面1AFC，所以//OE平面1AFC.（2）解：因为2AD，且D是AB的中点，且侧面11ABBA为菱形，所以1114ABABAA，因为111111,3ACBCACAC，所以2211437BC，所以11ACF的面积113737224S，在直三棱柱111ABCABC-中，1AA底面ABC，所以11111374734AACFAACFVV.9．在直三棱柱111ABCABC-中，13,4,5,ACBCAAABD是AB的中点．科网（北京）股份有限公司8(1)求证：1AC//平面1CDB；(2)求三棱锥1DBCB的体积；【答案】(1)证明见解析(2)5【分析】（1）借助题设条件运用线面平行的判定定理；（2）依据题设运用体积转换法进行探求．【详解】（1）设11BCBCO，连接OD，由直三棱柱性质可知，侧面11BCCB为矩形，∴O为1BC中点，又∵D为AB中点，∴在1ABC中，1ODAC，又∵OD平面1CDB，1AC平面1CDB，∴1//AC平面1CDB．（2）由题13,4,5ACBCAAAB，∴222CACBAB，即CACB，又由直三棱柱可知，侧棱1BB底面ABC，∴111111134553322DBCBBBCDBCDVVSBB.所以三棱锥1DBCB的体积为510．如图，在直三棱柱111ABCABC-中，90ABC，14AAAB，3BC.科网（北京）股份有限公司9(1)求三棱柱111ABCABC-的侧面积；(2)设D为AC的中点，求证：1AB∥平面1BCD.【答案】(1)48(2)证明见解析【分析】（1）由题意直三棱柱侧面都为矩形，分别求其面积即可；（2）连接1BC交1BC于点O，连接OD，由三角形中位线定理可得1ODAB∥，从而由线面平行的判定定理可证.【详解】（1）∵三棱柱111ABCABC-为直三棱柱，∴侧面111111,,BCCBBAABCAAC均为矩形，∵ABBC，所以底面111,ABCABC均为直角三角形，又∵14AAAB，3BC，∴2222435ACABBC，∴三棱柱111ABCABC-的侧面积为1()ABBCACAA(345)448.∴三棱柱111ABCABC-的侧面积为48.（2）连接1BC交1BC于点O，连接OD，∵四边形11BCCB为矩形，∴O为1BC的中点，∵D为AC的中点，∴1ODAB∥.∴1AB平面1BCD，OD平面1BCD，科网（北京）股份有限公司10∴1AB∥平面1BCD.11．如图，在几何体ABCDEF中，已知四边形ABCD是正方形，//,24EDFCADEDFC，,,MNQ分别为,,ADCDEB的中点，P为ED上靠近点D的四等分点.(1)证明：FQ//平面ABCD；(2)证明：平面PMN//平面EBF.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）令AC与BD的交点O，利用平行公理及线面平行的判定推理作答.（2）取ED的中点H，根据给定的条件结合平行四边形的性质证明线线平行，再利用线面平行、面面平行的判定推理作答.【详解】（1）如图，连接,ACBD，设AC与BD相交于点O，连接OQ，因为四边形ABCD是正方形，则O为BD的中点，又Q为EB的中点，于是////OQEDFC，12OQEDFC，即四边形OQFC为平行四边形，则//QFOC，而QFË平面ABCD，OC平面ABCD，所以//FQ平面ABCD.科网（北京）股份有限公司11（2）取ED的中点H，连接,,AHCHHF，因为EHHDFC，且//EDFC，则四边形,HDCFEHCF都为平行边形，有//,////,EFHCHFCDABHFCDAB，于是四边形AHFB为平行四边形，即有//AHBF，而P为ED上靠近点D的四等分点，则P为HD的中点，又N为CD的中点，则//PNHC，因此//EFPN，又EF平面EBF，PN平面EBF，则//PN平面EBF，显然////PMAHBF，又BF平面EBF，PM平面EBF，则//PM平面EBF，而,,PMPNPPMPN平面PMN，所以平面/