考点巩固卷25排列组合及二项式定理(十一大考点)（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点巩固卷25排列组合及二项式定理(十一大考点)考点01分类及分步的简单应用1．360的不同正因数的个数为（）A．24B．36C．48D．42【答案】A【分析】根据质因数分解，结合分步计数原理进行求解即可.【详解】因为32360235，所以360有43224个不同的正因数．故选：A2．如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．26B．24C．20D．19【答案】D【分析】根据题意，结合图形得出从A到B传播路径有4条，写出每条途径传播的最大信息量，再求和，即得答案．【详解】解：根据题意，结合图形知，从A到B传播路径有4条，如图所示；途径①传播的最大信息量为3，途径②传播的最大信息量为4；途径③传播的最大信息量为6，途径④传播的最大信息量为6；所以从A向B传递信息，单位时间内传递的最大信息量为346619，故选：D．3．某人从上一层到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（）种.A．10B．9C．8D．12【答案】A【分析】利用计数原理直接计算即可.【详解】按题意要求，不难验证这6步中不可能没有三阶步，也不可能有多于1个的三阶步.因此，只能是1个三阶步，2个二阶步，3个一阶步.为形象起见，以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越10级台阶的过程：白球表示一阶步，黑球表示二阶步，红球表示三阶步，每一过程可表为3个白球、2个黑球、1个红球的一种同色球不相邻的排列.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】下面分三种情形讨论.（1）第1、第6球均为白球，则两黑球必分别位于中间白球的两侧，此时，共有4个黑白球之间的空位放置红球，所以此种情况共有4种可能的不同排列；（2）第1球不是白球.（i）第1球为红球，则余下5球只有一种可能的排列；（ii）若第1球为黑球，则余下5球因红、黑球的位置不同有两种不同的排列，此种情形共有3种不同排列；（3）第6球不是白球，同（2），共有3种不同排列.总之，按题意要求从一层到二层共有43310种可能的不同过程.故选：A4．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.已知经典三阶魔方（如图）自由转动之后的色块组合约有4.3×1019种，现将下图已还原的魔方按5步打乱，且每一步互相独立，则共有（）种打乱方式.A．518AB．527AC．185D．195【答案】C【分析】按魔方的正面和侧面进行分析，得到每一次的旋转方式共有18种，即可得到答案【详解】若以红色的一面为正面，分成三行三列，每一行可以左右旋转，每一列可以上下旋转，此时有323212种旋转方式；接着侧面（以绿色一面为例），每一列都可以上下旋转，此时有326种旋转方式，故每一次旋转魔方，共有12618种旋转方式，所以按5步打乱，且每一步互相独立，则共有185种打乱方式.故选：C5．一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】8【分析】利用圆的对称性，分两种情况：相邻两个点和圆心、相间隔的三点，即可求出结果.【详解】如图1，由圆上相邻两个点和圆心可构成等边三角形，共有6个；如图2，由圆上相间隔的三点可构成等边三角形，共有2个；所以，7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为628个.故答案为：8.考点02排列数及组合数的运算6．22545A4C（）A．74B．98C．124D．148【答案】C【分析】根据排列数与组合数公式，计算即可．【详解】2254435A4C55441242．故选：C．7．若37CCnn，则2An（）A．90B．42C．12D．10【答案】A【分析】根据组合数的性质求出n即可.【详解】根据CCmnmnn，且37CCnn，所以3710n，1022AA10990n﹒故选：A﹒8．（多选）已知*,Nnm，nm，则（）A．11AAnnnnnB．111CCCmmmnnnC．11C1CmmnnmnD．11AAAmmmnnnm【答案】ABD资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据排列数和组合数公式判断各选项即可.【详解】对于A，11A1!!Annnnnnnn，故A正确；对于B，1111!1!!!1!1!!1!1!1!!1!!CCmmnnnnnnmnnnmnmnmmnmmnmmnm!1!C1!!!!mnnmnmnmmnm，故B正确；对于C，因为!!!!1!!Cmnnnmmnmmmnm，111!11C1!!mnnnnmnm，且1!1!nnn，所以11C1Cmmnnmn，故C错误；对于D，111!!1!1!!!AAA!1!1!1!1!mmmnnnnmnmnnnnnmnmnmnmnmnmnm，故D正确.故选：ABD.9．（多选）下列四个关系式中，一定成立的是（）A．32853C2C148B．111!A!mnnmn(2,,N)nmmn吵?C．11AAmmnnn(2,,N)nmmn吵?D．333345610CCCC328【答案】AC【分析】根据排列数公式和排列数的性质，准确化简、运算，即可求解.【详解】对于A中，由3285876543C2C3214832121，所以A正确；对于B中，由111!1!A!1(1)!mnnnnmnm，所以B错误；对于C中，由111!!()!(AA)!mmnnnnnnmnmn，所以C正确；对于D中，由33334333344561044561011CCCCCCCCC-1=C111109813294321，所以D错资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】误.故选：AC.10．（多选）下列等式中，正确的是（）A．3255AC50B．210C90C．2356ACD．434774ACA【答案】ACD【分析】计算出排列数和组合数后判断.【详解】35A54360，2554C102，601050，A正确；210109C452，B错；25A5420，36654C20321，C正确；47A7654840，3474765CA4321840321，D正确．故选：ACD．考点03捆绑法及插空法11．A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻的不同站法的种数为（）A．48B．96C．144D．288【答案】C【分析】根据相邻捆绑法和不相邻问题插空法即可由排列数计算求解.【详解】由于A，B相邻，所以先将A,B看作一个整体捆绑起来与E,F进行全排列，然后将C，D插入到已排好队的两两之间以及首尾的空隙中即可，故共有322324AAA144,故选：C12．（2023·河南郑州·统考模拟预测）黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的a，b两段，使得长线段a与原线段ab的比等于短线段b与长线段a的比，即::aabba，其比值约为0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（）A．180B．210C．240D．360【答案】C【分析】用插入法求解.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】先把6,1,8,9排列，然后选两个空档插入3，总方法为4245AC240．故选：C．13．为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为（用数字作答）．【答案】12【分析】利用捆绑求得正确答案.【详解】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为2323AA12种.故答案为：1214．2023年春节在北京工作的五个家庭，开车搭伴一起回老家过年，若五辆车分别为,,,,ABCDE，五辆车随机排成一排，则A车与B车相邻，A车与C车不相邻的排法有（）A．36种B．42种C．48种D．60种【答案】A【分析】利用捆绑法和插空法可求出结果.【详解】将A车与B车捆在一起当一个元素使用，有22A2种捆法，将除C车外的3个元素全排，有33A6种排法，将C车插入，不与A车相邻，又3种插法，故共有26336种排法.故选：A15．为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（）种.A．40B．24C．20D．12【答案】B【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】先令丙、丁两人相邻用捆绑法22A，再把丙、丁与戊排列在一起22A，最后插空令甲、乙两人不相邻23A,则不同的排法共有222223AAA22624种.故选：B.16．第二十二届哈尔滨国际经济贸易洽谈会（简称“哈洽会”）将于2023年6月15日至19日在哈尔滨国际会展体育中心举办，搭建展示和对接的平台，进一步激活发展潜能，推动“一带一路”建设．本届“哈洽会”线下展览总面积共计6万平方米，拟设中俄地方经贸合作主题展区、港澳台及国际展区、省区市合作展区、产业合作展区、龙江振兴展区、机械设备展区六大展区、展区布局如图所示，则产业合作展区与龙江振兴展区相邻的概率为（）A．13B．12C．23D．34【答案】A【分析】首先求出基本事件总数，再利用捆绑法求出产业合作展区与龙江振兴展区相邻的事件数，最后利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意基本事件总数为66A种，其中产业合作展区与龙江振兴展区相邻的事件有2525AA种，故产业合作展区与龙江振兴展区相邻的概率252566AA1A3P.故选：A考点04倍缩法及隔板法17．某学校组织6×100接力跑比赛，某班级决定派出A，B，C，D，E，F等6位同学参加比赛．在安排这6人的比赛顺序时要保证A要在B之前，D和F的顺序不能相邻，则符合要求的安排共有（）A．240种B．180种C．120种D．150种【答案】A【分析】先考虑D和F的顺序不能相邻，用插空法，然后考虑A要安排在B之前与A要安排在B之后的数量一样多，从而可得结论．【详解】解：6位同学参加接力赛跑，先考虑D和F的顺序不能相邻，其他四人的顺序数为44A种，D和F进行插空共有4245AA种，在所有符合条件的排序中，A要安排在B之前与A要安排在B之后的数量一样多，所以，符合要求的顺序有42451AA2＝240种．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A．18．方程123459xxxxx的非负整数