第03讲 圆的方程（八大题型）（讲义）（原卷版）

第03讲圆的方程目录考点要求考题统计考情分析（1）理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．（2）能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．2023年乙卷（文）第11题，5分2023年上海卷第7题，5分2022年甲卷（文）第14题，5分2022年乙卷（文）第15题，5分高考对圆的方程的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握圆的标准方程与一般方程的求法，除了待定系数法外，要特别要重视利用几何性质求解圆的方程．知识点一：基本概念平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．知识点二：基本性质、定理与公式1、圆的四种方程（1）圆的标准方程：222()()xaybr，圆心坐标为（a，b），半径为(0)rr（2）圆的一般方程：22220(40)xyDxEyFDEF，圆心坐标为,22DE，半径2242DEFr（3）圆的直径式方程：若1122(,),(,)AxyBxy，则以线段AB为直径的圆的方程是1212()()()()0xxxxyyyy（4）圆的参数方程：①222(0)xyrr的参数方程为cossinxryr（为参数）；②222()()(0)xaybrr的参数方程为cossinxarybr（为参数）．注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(cos,sin)arbr（为参数，,（）ab为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．2、点与圆的位置关系判断（1）点00(,)Pxy与圆222()()xaybr的位置关系：①222()()xaybr点P在圆外；②222()()xaybr点P在圆上；③222()()xaybr点P在圆内．（2）点00(,)Pxy与圆220xyDxEyF的位置关系：①2200000xyDxEyF点P在圆外；②2200000xyDxEyF点P在圆上；③2200000xyDxEyF点P在圆内．题型一：求圆多种方程的形式例1．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）过0,1A、0,3B两点，且与直线1yx相切的圆的方程可以是（）A．22122xyB．22225xyC．22122xyD．22225xy例2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为(21)，，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A．22420xyxyB．224250xyxyC．224250xyxyD．22420xyxy例3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆心为(2,3)的圆与直线10xy相切，则该圆的标准方程是（）A．22(2)(3)8xyB．22(2)(3)8xyC．22(2)(3)18xyD．22(2)3)1(8xy变式1．（2023·河北邢台·高三统考期末）已知圆22:25Cxy与直线:3400lxymm相切，则圆C关于直线l对称的圆的方程为（）A．22(3)(4)16xyB．22(3)(4)25xyC．22(6)(8)16xyD．22(6)(8)25xy变式2．（2023·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）过抛物线24yx的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为11,AB两点，以线段11AB为直径的圆C过点(2,3)，则圆C的方程为（）A．22(1)(2)2xyB．22(1)(1)5xyC．22(1)(1)17xyD．22(1)(2)26xy变式3．（2023·全国·高三专题练习）求过两点0,4,4,6AB，且圆心在直线220xy上的圆的标准方程是（）A．22(1(4)25)yxB．22(4)(1)25xyC．22(4)(1)25xyD．22(4)(1)25xy变式4．（2023·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知直线(32)(32)50xy＋恒过定点P，则与圆C：22(2)(3)16xy有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（）A．22(2)3)3(6xyB．22(2)(3)25xyC．22(2)3)1(8xyD．22(2)(3)9xy变式5．（2023·全国·高三专题练习）圆C：22122xy关于直线0xy对称的圆的方程是（）A．22(1)(2)2xyB．22(1)(2)2xyC．22(2)(1)2xyD．22(2)(1)2xy变式6．（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点,AB是MON的OM边上的两个定点，C是ON边上的一个动点，当且仅当ABC的外接圆与边ON相切于点C时，ACB最大．在平面直角坐标系中，已知点2,0D，4,0E，点F是y轴负半轴的一个动点，当DFE最大时，DEF的外接圆的方程是（）．A．223229xyB．223229xyC．222238xyD．222238xy变式7．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）过点4,2P作圆224xy的两条切线，切点分别为A，B，则PAB的外接圆方程是（）A．22215xyB．224220xyC．22215xyD．224220xy变式8．（2023·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知(3,0),(3,0),(0,3)ABC，则ABC外接圆的方程为（）A．22(1)2xyB．22(1)4xyC．22(1)2xyD．22(1)4xy【解题方法总结】（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．题型二：直线系方程和圆系方程例4．（2023·全国·高三专题练习）圆心在直线x-y-4＝0上，且经过两圆x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交点的圆的方程为（）A．x2+y2-x+7y-32＝0B．x2+y2-x+7y-16＝0C．x2+y2-4x+4y+9＝0D．x2+y2-4x+4y-8＝0例5．（2023·高二课时练习）过圆22240xyy与22420xyxy的交点，且圆心在直线:2410lxy上的圆的方程是．例6．（2023·江苏·高二专题练习）曲线2233xy与228yxx的四个交点所在圆的方程是．变式9．（2023·安徽铜陵·高二铜陵一中校考期中）经过直线20xy与圆224240xyxy的交点，且过点1,0的圆的方程为.变式10．（2023·高二校考课时练习）过两圆2220xyxy与224480xyxy的交点和点3,1的圆的方程是.变式11．（2023·浙江杭州·高二校考期末）已知一个圆经过直线:240lxy与圆22:240Cxyxy的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为.变式12．（2023·江西九江·高一统考期中）经过两圆22640xyx和226280xyy的交点，且圆心在直线40xy上的圆的方程为变式13．（2023·浙江绍兴·高二统考期中）已知圆C过直线240xy和圆222410xyxy的交点，且原点在圆C上．则圆C的方程为．【解题方法总结】求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．（1）直线系方程：若直线1111:0lAxByC与直线2222:0lAxByC相交于点P，则过点P的直线系方程为：11112222()()0AxByCAxByC2212(0)简记为：221122120(0)ll当10时，简记为：120ll（不含2l）（2）圆系方程：若圆221111:0CxyDxEyF与圆222222:0CxyDxEyF相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：2222111222()0(1)xyDxEyFxyDxEyF简记为：120(1)CC，不含2C当1时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）121212:()()0lDDxEEyFF注意：与圆C共根轴l的圆系:0CCl题型三：与圆有关的轨迹问题例7．（2023·全国·高三专题练习）点1,0P，点Q是圆224xy上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是（）A．22112xyB．22142xyC．22112xyD．22142xy例8．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知A，B是C：222425xy上的两个动点，P是线段AB的中点，若6AB，则点P的轨迹方程为（）A．224216xyB．222411xyC．222416xyD．224211xy例9．（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数(0,1)的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到(2,0)A的距离是点P到(1,0)B的距离的2倍．求点P的轨迹方程；变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知(4,0)P是圆2236xy内的一点,,AB是圆上两动点，且满足90APB，求矩形APBQ顶点Q的轨迹方程．变式15．（1977·福建·高考真题）动点,Pxy到两定点30A,和3,0B的距离的比等于2，求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．变式16．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知圆C：222430xyxy.(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的一般式方程；(2)从圆C外一点(,)Pxy向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PMPO，求点P的轨迹方程.变式17．（2023·全国·高三专题练习）由圆229xy外一点(5,12)P引圆的割线交圆于AB，两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知圆22:40Gxyx，平面上一动点P满足：226PMPN且(1,0)M，(1,0)N．求动点P的轨迹方程；变式19．（2023·全国·高三专题练习）在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、R，且BQCR．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知RtABC的斜边为AB，且(1,0),(3,0)AB.求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.变式21．（2023·高二课时练习）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的