第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（九大题型）（讲义）（原卷版）

第04讲直线与圆、圆与圆的位置关系目录考点要求考题统计考情分析（1）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．2023年乙卷（理）第12题，5分2023年I卷第6题，5分2023年II卷第15题，5分2022年I卷第14题，5分高考对直线与圆、圆与圆的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，但命题形式上比较灵活，备考时应熟练掌握相关题型与方法，除了直线与圆、圆与圆的位置关系的判断外，还特别要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题．一．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交二．直线与圆的位置关系判断（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心(,)ab到直线0AxByC的距离，则22||AaBbCdAB：dr直线与圆相交，交于两点,PQ，22||2PQrd；dr直线与圆相切；dr直线与圆相离（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由2220()()AxByCxaybr，消元得到一元二次方程20pxqxt，20pxqxt判别式为，则：0直线与圆相交；0直线与圆相切；0直线与圆相离．三．两圆位置关系的判断用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆12,OO的半径分别是,Rr，（不妨设Rr），且两圆的圆心距为d，则：dRr两圆相交；dRr两圆外切；RrdRr两圆相离dRr两圆内切；0dRr两圆内含（0d时两圆为同心圆）设两个圆的半径分别为Rr，，Rr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210【解题方法总结】关于圆的切线的几个重要结论（1）过圆222xyr上一点00(,)Pxy的圆的切线方程为200xxyyr．（2）过圆222()()xaybr上一点00(,)Pxy的圆的切线方程为200()()()()xaxaybybr（3）过圆220xyDxEyF上一点00(,)Pxy的圆的切线方程为0000022xxyyxxyyDEF（4）求过圆222xyr外一点00(,)Pxy的圆的切线方程时，应注意理解：①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为00()yykxx，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于k的方程，求出k值．若求出的k值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．题型一：直线与圆的位置关系的判断例1．（2023·四川成都·成都七中校考一模）圆C：22(1)(1)1xy与直线l：143xy的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定例2．（2023·全国·高三对口高考）若直线1axby与圆221xy相交，则点,Pab（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能例3．（2023·全国·高三专题练习）已知点00,Pxy为圆22:2Cxy上的动点，则直线00:2lxxyy与圆C的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．相切或相交变式1．（2023·全国·高三专题练习）直线:10lxmym与圆22:129Cxy的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定变式2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）直线l：cossin1xyR与曲线C：221xy的交点个数为（）A．0B．1C．2D．无法确定变式3．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）直线140Rkxykk与圆22(1)(2)25xy的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定【解题方法总结】判断直线与圆的位置关系的常见方法（1）几何法：利用d与r的关系．（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断．（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．题型二：弦长与面积问题例4．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知直线l：350xy与圆C：222660xyxy交于A，B两点，则AB．例5．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知圆22:650Cxyx，直线113yx与圆C相交于M，N两点，则MN．例6．（2023·全国·高三专题练习）已知直线:10lxmy与22:14Cxy交于A，B两点，写出满足“ABC面积为85”的m的一个值．变式4．（2023·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）圆心在直线2yx上，与x轴相切，且被直线0xy截得的弦长为14的圆的方程为.变式5．（2023·广东广州·统考三模）写出经过点(1,0)且被圆222210xyxy截得的弦长为2的一条直线的方程．变式6．（2023·广东深圳·校考二模）过点(1,1)且被圆224440xyxy所截得的弦长为22的直线的方程为.变式7．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）已知直线l：220kxyk被圆C：22(1)16xy所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有条.变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知A，B分别为圆2211xy与圆2224xy上的点，O为坐标原点，则OAB面积的最大值为.变式9．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知直线:50lxy与圆22:2440Cxyxy交于A，B两点，若M是圆上的一动点，则MAB△面积的最大值是.变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C的方程为22(3)(4)25xy，若直线:3450lxy与圆C相交于,AB两点，则ABC的面积为.变式11．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，过点(0,3)A的直线l与圆22:(2)9Cxy相交于M，N两点，若65AONACMSS△△，则直线l的斜率为.变式12．（2023·广东惠州·统考模拟预测）在圆22260xyxy内，过点0,3E的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为．【解题方法总结】弦长问题①利用垂径定理：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有的关系222()2lrd，这也是求弦长最常用的方法．②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．③利用弦长公式：设直线:lykxb，与圆的两交点1122()()xyxy，，，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：22221212121||(1)[()4](1)lkxxkxxxxkA．题型三：切线问题、切线长问题例7．（2023·辽宁锦州·校考一模）写出一条与圆221xy和曲线25yx都相切的直线的方程：.例8．（2023·河南开封·统考三模）已知点(1,0)A，(2,0)B，经过B作圆22325xy的切线与y轴交于点P，则tanAPB．例9．（2023·全国·高三专题练习）经过点1,0且与圆224230xyxy相切的直线方程为．变式13．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知圆C：22220xyxy，直线l的横纵截距相等且与圆C相切﹐则直线l的方程为．变式14．（2023·福建福州·统考模拟预测）写出经过抛物线28yx的焦点且和圆2214xy相切的一条直线的方程.变式15．（2023·重庆·统考模拟预测）过点3,2P且与圆C：222410xyxy相切的直线方程为变式16．（2023·湖北·高三校联考开学考试）已知过点3,3P作圆22:2Oxy的切线，则切线长为.变式17．（2023·江苏无锡·校联考三模）已如3,3P，M是抛物线24yx上的动点（异于顶点），过M作圆22:24Cxy的切线，切点为A，则MAMP的最小值为.变式18．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）由直线60xy上一点P向圆22:354Cxy引切线，则切线长的最小值为．变式19．（2023·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）若在圆C：2220xyrr上存在一点P，使得过点P作圆M：2221xy的切线长为2，则r的取值范围为．变式20．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知圆22:20(0)Mxyaya与直线0xy相交所得圆的弦长是22，若过点3,6A作圆M的切线，则切线长为.变式21．（2023·天津南开·统考二模）若直线230kxyk与圆2214xy相切，则k.变式22．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知221:21Oxye，222:369Oxye，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当PMPN取到最小值时，点P坐标为.【解题方法总结】（1）圆的切线方程的求法①点00()Mxy，在圆上，法一：利用切线的斜率lk与圆心和该点连线的斜率OMk的乘积等于1，即1OMlkk．法二：圆心O到直线l的距离等于半径r．②点00()Mxy，在圆外，则设切线方程：00()yykxx，变成一般式：000kxyykx，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k．注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．（2）常见圆的切线方程过圆222xyr上一点00()Pxy，的切线方程是200xxyyr；过圆222()()xaybr上一点00()Pxy，的切线方程是200()()()()xaxaybybr．题型四：切点弦问题例10．（2023·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）从抛物线240yxy上一点P作圆C：2251xy得两条切线，切点为,AB，则当四边形PACB面积最小时直线AB方程为.例11．（2023·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知圆22:20Cxyy，过直线:10lxy上任意一点P，作圆的两条切线，切点分别为,AB两点，则AB的最小值为.例12．（2023·北京·高三强基计划）如图，过椭圆22194xy上一点M作圆222xy的两条切线，过切点的直线与坐标轴于P，Q两点，O为坐标原点，则POQ△面积的最小值为（）A．12B．23C．34D．前三个答案都不对变式23．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线:10(0)lmxymm与圆:C224240xyxy，过直线l上的任意一点P向圆C引切线，设切点为,AB，若线段AB长度的最小值为3，则实数m的值是（）A．125B．125C．75D．75变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知点P在直线:34330lxy上，过点P作圆22:(1)4Cxy的两条切线，切点分别为,AB，则圆心C到直线AB的距离的最大值为（）A．13B．23C．1D．43变式25．（2023·重庆·统考模拟预测）若圆22:(2)16Cxy关于直线120axby对称，动点P在直线0yb上，过点P引圆C的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则直线MN恒过定点Q，点Q的坐标为（）A．(1,1)B．(1,1)C．(0,0)D．(0,12)变式26．（多选题）（2023·全