第05讲 椭圆及其性质（八大题型）（讲义）（原卷版）

第05讲椭圆及其性质目录考点要求考题统计考情分析（1）理解椭圆的定义、几何图形、标准方程．（2）掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．（3）掌握椭圆的简单应用．2023年I卷II卷第5题，5分2023年北京卷第19题，15分2023年甲卷（理）第12题，5分2022年甲卷（理）第10题，5分椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法以及椭圆的简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现．知识点一：椭圆的定义平面内与两个定点12,FF的距离之和等于常数2a（122||aFF）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c，定义用集合语言表示为：1212|||||2(2||20)PPFPFaaFFc注意：当22ac时，点的轨迹是线段；当22ac时，点的轨迹不存在．知识点二：椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质所示．焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210xyabab222210yxabab统一方程221(m0,n0,)mxnymn参数方程cos,[0,2]sinxayb为参数（）cos,[0,2]sinxayb为参数（）第一定义到两定点21FF、的距离之和等于常数2a，即21||||2MFMFa（212||aFF）范围axa且bybbxb且aya顶点1,0a、2,0a10,b、20,b10,a、20,a1,0b、2,0b轴长长轴长2a，短轴长2b长轴长2a，短轴长2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距122FFc222()cab离心率22222221(01)ccabbeeaaaa准线方程2axc点和椭圆的关系2200002211(,)1xyxyab外点在椭圆上内2200002211(,)1yxxyab外点在椭圆上内切线方程00221xxyyab（00(,)xy为切点）00221yyxxab（00(,)xy为切点）对于过椭圆上一点00(,)xy的切线方程，只需将椭圆方程中2x换为0xx，2y换为0yy可得切点弦所在的直线方程0000221((,)xxyyxyab点在椭圆外）0000221((,)yyxxxyab点在椭圆外）焦点三角形面积①2max12122cos1,bFBFrr，（B为短轴的端点）②1202012|s|,1tan2|in2|,PFFcyxSxrbrcy焦点在轴上焦点在轴上12()FPF③212212min=max=PrrbPrra当点在长轴端点时,（）当点在短轴端点时,（）焦点三角形中一般要用到的关系是1212122221212221211|)|||222si|1||||2|||||2||||csnoPFFSPFPFFPFFFPMFMFcFPFFaaPPFFPF（）焦半径左焦半径：10MFaex又焦半径：10MFaex上焦半径：10MFaey下焦半径：10MFaey焦半径最大值ac，最小值ac通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=22ba（最短的过焦点的弦）弦长公式设直线与椭圆的两个交点为11(,)Axy，22(,)Bxy，ABkk，则弦长22212121211()4ABkxxkxxxx21212211()4yyyyk21||ka（其中a是消y后关于x的一元二次方程的2x的系数，是判别式）【解题方法总结】（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为22ba．①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为ac，距离的最小值为ac．（2）椭圆的切线①椭圆22221(0)xyabab上一点00()Pxy，处的切线方程是00221xxyyab；②过椭圆22221(0)xyabab外一点00()Pxy，，所引两条切线的切点弦方程是00221xxyyab；③椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222AaBbc．题型一：椭圆的定义与标准方程例1．（2023·高二课时练习）已知椭圆C上任意一点,Pxy都满足关系式2222114xyxy，则椭圆C的标准方程为.例2．（2023·山东青岛·统考三模）已知椭圆C的长轴长为4，它的一个焦点与抛物线214yx的焦点重合，则椭圆C的标准方程为．例3．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点为12(1,0),(1,0)FF，且过点31,,2P则椭圆标准方程为．变式1．（2023·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测）已知椭圆E：22221xyab（0ab），F是E的左焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为3，ABF△的面积为313，则E的标准方程为.变式2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆焦点在x轴，它与椭圆22143xy有相同离心率且经过点2,3，则椭圆标准方程为.变式3．（2023·北京·高二北大附中校考期末）与双曲线224312yx有相同焦点，且长轴长为6的椭圆标准方程为.变式4．（2023·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期末）已知椭圆E：222210xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且22PFFQ，且2212PFQSa，228PFFQ，则E的标准方程为.变式5．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考期中）过点5,3，且与椭圆221259xy有相同的焦点的椭圆标准方程是．变式6．（2023·浙江丽水·高三校考期中）我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”.若椭圆22:11612xyE，则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆F的标准方程为.变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：22221xyab(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点（异于M、N），1AFB△的周长为43，且直线AM与AN的斜率之积为23，则椭圆C的标准方程为.变式8．（2023·高二课时练习）已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过(32)A，和(231)B，两点，则椭圆C的标准方程为.【解题方法总结】（1）定义法：根据椭圆定义，确定22,ab的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出,,abc的方程组，解出22,ab，从而求得标准方程.注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为221(0,0,)AxByABAB.②与椭圆221xymn共焦点的椭圆可设为221(,,)xykmknmnmknk.③与椭圆22221(0)xyabab有相同离心率的椭圆，可设为22122xykab（10k，焦点在x轴上）或22222xykab（20k，焦点在y轴上）.题型二：椭圆方程的充要条件例4．（2023·全国·高三对口高考）若是任意实数，方程22sincos5xy表示的曲线不可能是（）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线例5．（2023·上海徐汇·位育中学校考三模）已知mR，则方程22211mxmy所表示的曲线为C，则以下命题中正确的是（）A．当1,22m时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆B．当曲线C表示双曲线时，m的取值范围是2,C．当2m时，曲线C表示一条直线D．存在mR，使得曲线C为等轴双曲线例6．（2023·全国·高三专题练习）已知方程220AxByCxyDxEyF，其中ABCDEF．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．其中，真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个变式9．（2023·全国·高三专题练习）“01a，01b”是“方程221axby表示的曲线为椭圆”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件变式10．（2023·云南楚雄·高三统考期末）已知曲线22:1432xyCaa，则“0a”是“曲线C是椭圆”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件变式11．（2023·全国·高三专题练习）设a为实数，则曲线C：22211yxa不可能是（）A．抛物线B．双曲线C．圆D．椭圆变式12．（2023·广西钦州·高三校考阶段练习）“15k”是方程“22115xykk表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条【解题方法总结】221xymn表示椭圆的充要条件为：0,0,mnmn；221xymn表示双曲线方程的充要条件为：0mn；221xymn表示圆方程的充要条件为：0mn.题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题例7．（2023·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点A，B是椭圆22:194xyC上关于原点对称的两点，1F，2F分别是椭圆C的左、右焦点，若12AF，则1BF（）A．1B．2C．4D．5例8．（2023·北京·高三强基计划）如图，过椭圆22143xy的右焦点2F作一条直线，交椭圆于A，B两点，则1FAB的内切圆面积可能是（）A．1B．2C．3D．4例9．（2023·江西·高三统考阶段练习）已知椭圆22122:1(1),,xCyaFFa为两个焦点，P为椭圆C上一点，若12PFF△的周长为4，则a（）A．2B．3C．32D．54变式13．（2023·河南·高三阶段练习）已知12,FF分别为椭圆222:1(23)12xyCaa的两个焦点，且C的离心率为1,2P为椭圆C上的一点，则12PFF△的周长为（）A．6B．9C．12D．15变式14．（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为1F，2F，延长2BF交椭圆E于点P．若点A到直线2BF的距离为1623，12PFF△的周长为16，则椭圆E的标准方程为（）A．2212516xyB．2213632xyC．2214948xyD．22110064xy变式15．（2023·广东梅州·统考三模）已知椭圆22:195xyC的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的直线l与椭圆C的一个交点为A，若24AF，则12AFF△的面积为（）A．23B．13C．4D．15变式16．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）椭圆22:1(0)43xyEab的两焦点分别为12FF，，A是椭圆E上一点，当12FAF的面积取得最大值时，12FAF（）A．6B．2C．3D．23变式17．（2023·河南开封·统考三模）已知点P是椭圆221259xy上一点，椭圆的左、右焦点分别为1F、2F，且121cos3FPF，则12PFF△的面积为（）A．6B．12C．922D．2