第06讲 双曲线及其性质(练习)(原卷版)

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第06讲双曲线及其性质(模拟精练+真题演练)1.(2023·四川成都·校联考模拟预测)已知双曲线22:136xy的右焦点为F,过点F作一条渐近线的垂线,垂足为P,O为坐标原点,则OPF△的面积为()A.32B.322C.33D.3322.(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)已知双曲线222:14xyEa,过E的右顶点A且与一条渐近线平行的直线交y轴于点B,OAB的面积为2,则E的焦距为()A.2B.22C.4D.423.(2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测)已知A,B分别是双曲线2222:10,0xyCabab的左、右顶点,F是C的焦点,点P为C的右支上位于第一象限的点,且PFx轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.34.(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)已知双曲线22221xyab(0,0)ab的左、右焦点分别为12,FF,过点1F且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于,AB两点,若2ABF△的周长为16,则当2b取得最大值时,该双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.55.(2023·四川成都·模拟预测)已知1F、2F分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点,且2122bFFa,点P为双曲线右支上一点,I为12PFF△内心,若1212IPFIPFIFFSSSl=+△△△,则的值为()A.52B.12C.512D.5126.(2023·四川南充·统考三模)已知点F是双曲线22221xyab(00ab,)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1),+B.(1,2)C.(2,12)D.(1,12)+7.(2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模)已知双曲线2222:1(00)xyCabab,的左、右焦点分别为1F,2F,若在C上存在点(P不是顶点),使得2113PFFPFF,则C的离心率的取值范围为()A.22,B.3,C.(1,3]D.1,28.(2023·福建福州·福州四中校考模拟预测)已知双曲线2222:1(0,0),xyCabFab为左焦点,12,AA分别为左、左顶点,P为C右支上的点,且OPOF(O为坐标原点).若直线PF与以线段12AA为直径的圆相交,则C的离心率的取值范围为()A.1,3B.3,C.5,D.1,59.(2023·贵州毕节·校考模拟预测)如图,双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F,2F,直线l过点1F与双曲线的两条渐近线分别交于,PQ两点.若P是1FQ的中点,且120FQFQ,则此双曲线的离心率为()A.3B.2C.22D.2310.(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab,F为C的左焦点.经过原点的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且AFBF,π12ABF,则C的一条渐近线的倾斜角可以是()A.π12B.π6C.π4D.π311.(多选题)(2023·山西阳泉·统考三模)已知方程220AxByCxyDxEyF,其中ABCDEF,现有四位同学对该方程进行了判断,提出了四个命题,其中真命题有:()A.可以是圆的方程B.一定不能是抛物线的方程C.可以是椭圆的标准方程D.一定不能是双曲线的标准方程12.(多选题)(2023·福建泉州·统考模拟预测)已知1F,2F分别是双曲线C:2214xy的左、右焦点,点M是该双曲线的一条渐近线上的一点,并且以线段12FF为直径的圆经过点M,则()A.12MFF△的面积为5B.点M的横坐标为2或2C.C的渐近线方程为14yxD.以线段12FF为直径的圆的方程为223xy13.(多选题)(2023·广东深圳·统考二模)如图,双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12,FF,过1F向圆222xya作一条切线l与渐近线byxa和byxa分别交于点,AB(A恰好为切点,且是渐近线与圆的交点),设双曲线的离心率为e.当3ABa时,下列结论正确的是()A.212AFAFaB.1FAbC.当点B在第一象限时,2eD.当点B在第三象限时,32e14.(多选题)(2023·广东佛山·统考模拟预测)已知双曲线E:222210,0yxabab上、下焦点分别为1F,2F,虚轴长为22,P是双曲线上支上任意一点,1PF的最小值为62.设0,Aa,0,Ba,Q是直线23y上的动点,直线QA,QB分别与E的上支交于点C,D,设直线QA,QB的斜率分别为1k,2k.下列说法中正确的是()A.双曲线E的方程为22142yxB.213kkC.以CD为直径的圆经过A点D.当11k时,CD平行于x轴15.(多选题)(2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模)我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”,如图,利用了双曲线的光学性质:1F,2F是双曲线的左、右焦点,从2F发出的光线m射在双曲线右支上一点P,经点P反射后,反射光线的反向延长线过1F;当P异于双曲线顶点时,双曲线在点P处的切线平分12FPF.若双曲线C的方程为221916xy,则下列结论正确的是()A.射线n所在直线的斜率为k,则44,33kB.当mn时,1232PFPFC.当n过点7,5Q时,光线由2F到P再到Q所经过的路程为13D.若点T坐标为1,0,直线PT与C相切,则212PF16.(多选题)(2023·广东广州·华南师大附中校考三模)在平面直角坐标系xOy中,双曲线E:222210,0yxabab的下、上焦点分别是1F,2F,渐近线方程为2yx,P为双曲线E上任意一点,PQ平分12FPF,且1FQPQ,2OQ,则()A.双曲线E的离心率为52B.双曲线E的方程为2241yxC.若直线1PF与双曲线E的另一个交点为H,M为PH的中点,则14OMPHkkD.点P到两条渐近线的距离之积为4517.(多选题)(2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测)已知1F,2F是椭圆1C:2211221110xyabab与双曲线2C:2222222210,0xyabab的公共焦点,1e,2e分别是1C与2C的离心率,且P是1C与2C的一个公共点,满足120PFPF,则下列结论中正确的是()A.22221122ababB.2212112eeC.22122ee的最小值为3222D.1231ee的最大值为2218.(2023·贵州毕节·校考模拟预测)已知双曲线C的左、右焦点分别为12,FF,存在过点2F的直线与双曲线C的右支交于,AB两点,且1ABF为正三角形.试写出一个满足上述条件的双曲线C的方程:.19.(2023·福建三明·统考三模)古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》,里给出了托勒密定理,即任意凸四边形中,两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和,当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线2222:10,0xyCabab的左、右焦点分别为1F,2F,双曲线C上关于原点对称的两点A,B满足121221ABFFAFBFAFBF,若12π6AFF,则双曲线C的离心率.20.(2023·河南开封·统考模拟预测)已知A是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右顶点,点(2,3)P在C上,F为C的左焦点,若APF的面积为92,则C的离心率为.21.(2023·四川成都·校联考模拟预测)已知双曲线:22210yxbb的右焦点为F,过点F作一条渐近线的垂线,垂足为P,点Q为线段PF的中点,2OEEQ,O为坐标原点,且点E在双曲线上,则b.22.(2023·江西赣州·统考模拟预测)已知双曲线C:222210,0xyabab,过双曲线C的右焦点F作直线l交双曲线C的渐近线于A,B两点,其中点A在第一象限,点B在第四象限,且满足12BFFA,423AFa,则双曲线C的离心率为.23.(2023·四川绵阳·统考二模)已知双曲线C的方程为:222210,0xyabab,离心率为355,过C的右支上一点00(,)Pxy,作两条渐近线的平行线,分别交x轴于M,N两点,且5OMON.过点P作12FPF的角平分线,2F在角平分线上的投影为点H,则1FH的最大值为.1.(2021•甲卷)点(3,0)到双曲线221169xy的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.452.(2021•天津)已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点与抛物线22(0)ypxp的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于A,B两点,交双曲线的渐近线于C,D两点,若||2||CDAB,则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.33.(2021•北京)双曲线2222:1xyCab的离心率为2,且过点(2,3),则双曲线的方程为()A.2221xyB.2213yxC.22531xyD.22126xy4.(多选题)(2022•乙卷)双曲线C的两个焦点为1F,2F,以C的实轴为直径的圆记为D,过1F作D的切线与C交于M,N两点,且123cos5FNF,则C的离心率为()A.52B.32C.132D.1725.(2023•北京)已知双曲线C的焦点为(2,0)和(2,0),离心率为2,则C的方程为.6.(2023•新高考Ⅰ)已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F,2F.点A在C上,点B在y轴上,11FAFB,2223FAFB,则C的离心率为.7.(2022•甲卷)记双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为e,写出满足条件“直线2yx与C无公共点”的e的一个值.8.(2022•甲卷)若双曲线2221(0)xymm的渐近线与圆22430xyy相切,则m.9.(2022•浙江)已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为F,过F且斜率为4ba的直线交双曲线于点1(Ax,1)y,交双曲线的渐近线于点2(Bx,2)y且120xx.若||3||FBFA,则双曲线的离心率是.10.(2022•北京)已知双曲线221xym的渐近线方程为33yx,则m.11.(2021•乙卷)已知双曲线22:1(0)xCymm的一条渐近线为30xmy,则C的焦距为.12.(2021•乙卷)双曲线22145xy的右焦点到直线280xy的距离为.13.(2021•新高考Ⅱ)已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率2e,则该双曲线的渐近线方程为.14.(2021•全国)双曲线221916xy的左、右焦点分别为1F,2F,点P在直线100xy上,则12||||PFPF的最小值为.15.(2023•新高考Ⅱ)已知双曲线C中心为坐标原点,左焦点为(25,0),离心率为5.(1)求C的方程;(2)记C的左、右顶点分别为1A,2A,过点(4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线1MA与2NA交于P,证明P在定直线上.16.(2022•新高考Ⅰ)已知点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率;(2)若tan22PAQ,求PAQ的面积.17.(2022•新高考Ⅱ)已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为(2,0)F,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