第07讲 抛物线及其性质（六大题型）（讲义）（原卷版）

第07讲抛物线及其性质目录考点要求考题统计考情分析（1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．（2）掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．（3）了解抛物线的简单应用．2023年北京卷第6题，5分2023年II卷第10题，5分2023年乙卷（文）第13题，5分2023年I卷第22题，12分从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁．抛物线是圆雉曲线的重要内容，新高考主要考查抛物线的定义、方程、焦点、准线及其几何性质的应用．知识点一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线()lFl的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．注：若在定义中有Fl，则动点的轨迹为l的垂线，垂足为点F．知识点二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：22ypx，22ypx，22xpy，22(0)xpyp，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向图形标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp顶点(00)O，范围0x，yR0x，yR0y，xR0y，xR对称轴x轴y轴焦点(0)2pF，(0)2pF，(0)2pF，(0)2pF，离心率1e准线方程2px2px2py2py焦半径11()Axy，12pAFx12pAFx12pAFy12pAFy【解题方法总结】1、点00(,)Pxy与抛物线22(0)ypxp的关系（1）P在抛物线内（含焦点）2002ypx．（2）P在抛物线上2002ypx．（3）P在抛物线外2002ypx．2、焦半径抛物线上的点00(,)Pxy与焦点F的距离称为焦半径，若22(0)ypxp，则焦半径02pPFx，min2pPF．3、(0)pp的几何意义p为焦点F到准线l的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大．4、焦点弦若AB为抛物线22(0)ypxp的焦点弦，11(,)Axy，22(,)Bxy，则有以下结论：（1）2124pxx．（2）212yyp．（3）焦点弦长公式1：12ABxxp，12122xxxxp，当12xx时，焦点弦取最小值2p，即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p．焦点弦长公式2：22sinpAB（为直线AB与对称轴的夹角）．（4）AOB的面积公式：22sinAOBpS（为直线AB与对称轴的夹角）．5、抛物线的弦若AB为抛物线22(p0)ypx的任意一条弦，1122(,),(,)AxyBxy，弦的中点为000(,)(0)Mxyy，则（1）弦长公式：212122111(0)ABABkxxyykkk（2）0ABpky（3）直线AB的方程为000()pyyxxy（4）线段AB的垂直平分线方程为000()yyyxxp6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4A法）（1）2(0)yAxA焦点为(,0)4A，准线为4Ax（2）2(0)xAyA焦点为(0,)4A，准线为4Ay如24yx，即24yx，焦点为1(0,)16，准线方程为116y7、参数方程22(0)ypxp的参数方程为222xptypt（参数tR）8、切线方程和切点弦方程抛物线22(0)ypxp的切线方程为00()yypxx，00(,)xy为切点切点弦方程为00()yypxx，点00(,)xy在抛物线外与中点弦平行的直线为00()yypxx，此直线与抛物线相离，点00(,)xy（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．9、抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线22(0)ypxp，由()2pAp，，()2pBp，，可得||2ABp，故抛物线的通径长为2p．10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：0pyk11、焦点弦的常考性质已知11()Axy，、22()Bxy，是过抛物线22(0)ypxp焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MNl，N为垂足．（1）以AB为直径的圆必与准线l相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；（2）FNAB，FCFD（3）2124pxx；212yyp（4）设BDl，D为垂足，则A、O、D三点在一条直线上题型一：抛物线的定义与方程例1．（2023·福建福州·高三统考开学考试）已知点0,2Px在抛物线C：24yx上，则P到C的准线的距离为（）A．4B．3C．2D．1例2．（2023·四川绵阳·统考二模）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线216xy的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（）A．6B．233C．834D．31例3．（2023·内蒙古包头·高三统考开学考试）抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线2x交C于P，Q两点，C的准线交x轴于点R，若PRQR，则C的方程为（）A．24yxB．26yxC．28yxD．212yx变式1．（2023·陕西渭南·高三统考阶段练习）抛物线243yx的焦点坐标为（）A．3,016B．30,16C．1,03D．20,3变式2．（2023·全国·高三校联考开学考试）过抛物线2:20Cxpyp的焦点F的直线l交C于,AB两点，若直线l过点1,0P，且8AB，则抛物线C的准线方程是（）xyBFACDNMOA．=3yB．=2yC．32yD．1y变式3．（2023·广西防城港·高三统考阶段练习）已知点A，B在抛物线24yx上，O为坐标原点，若OAOB，且AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是（）A．20xB．30xC．40xD．50x变式4．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知抛物线2:2(0)Eypxp的焦点为F，准线为l，过E上的一点A作l的垂线，垂足为B，点,0Cp，AF与BC相交于点D．若3AFFC，且ACD的面积为32，则E的方程为（）A．24yxB．243yxC．28yxD．283yx【解题方法总结】求抛物线的标准方程的步骤为：（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：（2）根据题目条件列出P的方程（3）解方程求出P，即得标准方程题型二：抛物线的轨迹方程例4．（2023·高三课时练习）已知点F（1，0），直线:1lx，若动点P到点F和到直线l的距离相等，则点P的轨迹方程是.例5．（2023·全国·高三专题练习）在平面坐标系中，动点P和点(3,0)(3,0)MN、满足||||0MNMPMNNP，则动点(,)Pxy的轨迹方程为．例6．（2023·全国·高三专题练习）与点0,3F和直线30y的距离相等的点的轨迹方程是．变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知动点,Mxy的坐标满足2222xyx，则动点M的轨迹方程为．变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知动点(,)Mxy到定点(1,0)F与定直线0x的距离的差为1．则动点M的轨迹方程为．变式7．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）点(1,0)A，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则P点的轨迹方程为．变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是．变式9．（2023·河南·校联考模拟预测）一个动圆与定圆22:34Fxy相外切，且与直线:1lx相切，则动圆圆心的轨迹方程为．变式10．（2023·上海·高三专题练习）已知点()1,0A，直线l：=1x，两个动圆均过点A且与l相切，其圆心分别为1C、2C，若动点M满足22122CMCCCA，则M的轨迹方程为.变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知点(4,4)A、(4,4)B，直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为2，点M的轨迹为曲线C，则曲线C的轨迹方程为【解题方法总结】常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围．题型三：与抛物线有关的距离和最值问题例7．（2023·江苏无锡·校联考三模）已如3,3P，M是抛物线24yx上的动点（异于顶点），过M作圆22:24Cxy的切线，切点为A，则MAMP的最小值为.例8．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点00,Pxy是抛物线24yx上的动点，则00021xxy的最小值为.例9．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）函数42424345415217fxxxxxxx的最大值为．变式12．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知斜率为3的直线l过抛物线22(0)ypxp的焦点F，且与该抛物线交于,AB两点，若8,ABP为该抛物线上一点，Q为圆223:(1)12Cxy上一点，则PFPQ的最小值为.变式13．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知抛物线2:16Cyx，其焦点为F，PQ是过点F的一条弦，定点A的坐标是2,4，当||||PAPF取最小值时，则弦PQ的长是.变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知点M为抛物线22yx上的动点，点N为圆22(4)5xy上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为..变式15．（2023·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）过点10，的直线l交抛物线24yx于AB、两点，点C的坐标为31，.设线段AB的中点为M，则2MCAB的最小值为.变式16．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知00,Pxy是抛物线24yx上一点，则0005213xxy的最小值为.变式17．（2023·江西南昌·高三统考阶段练习）已知抛物线24yx的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，则4AFBF的最小值是．变式18．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知点P是抛物线28yx上的动点，Q是圆22(2)1xy上的动点，则POPQ的最大值是.变式19．（2023·江西·校联考模拟预测）已知1122,,,PxyQxy是拋物线24xy上两点，且12232||3yyPQ，F为焦点，则PFQ最大值为.变式20．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知P是抛物线24yx上的动点，P到y轴的距离为1d，到圆22:334Cxy上动点Q的距离为2d，则12dd的最小值为．变式21．（2023·河南·校联考模拟预测）2222176622mmm的最小值为．变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知点3,2M是坐标平面内一定点，若抛物线22yx的焦点为F，点Q是抛物线上的一动点，则MQQF的最小值是.变式23．（2023·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知P为抛物线24yx上的一个动点，Q为圆2241xy上的一个动点，那么点