第08讲 直线与圆锥曲线的位置关系（四大题型6个方向）（讲义）（原卷版）

第08讲直线与圆锥曲线的位置关系目录考点要求考题统计考情分析（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．（2）经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．（3）了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质．（4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．2023年I卷第22题，12分2023年II卷第21题，12分2023年甲卷（理）第20题，12分2022年I卷第21题，12分2022年II卷第21题，12分从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，特别是解答题中，更是经常出现．直线与圆锥曲线综合问题是高考的热点，涉及直线与圆锥曲线关系中的求弦长、面积及弦中点、定点、定值、参数取值范围和最值等问题．多属于解答中的综合问题．近两年难度上有上升的趋势，但更趋于灵活．知识点一、直线和曲线联立（1）椭圆22221(0)xyabab与直线:lykxm相交于AB两点，设11()Axy，，22()Bxy，22221xyabykxm，222222222()20bkaxakmxamab椭圆22221(00)xyabab，与过定点(0)m，的直线l相交于AB两点，设为xtym，如此消去x，保留y，构造的方程如下：22221xyabxtym，222222222()20atbybtmybmab注意：①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出0，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．②焦点在y轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．（2）抛物线22(0)ypxp与直线xtym相交于AB、两点，设11()Axy，，22()Bxy，联立可得22()yptym，0时，121222yyptyypm特殊地，当直线AB过焦点的时候，即2pm，222212121212224yyyypmpxxppp，，因为AB为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．抛物线22(0)xpyp与直线ykxm相交于CD、两点，设11C()xy，，22D()xy，联立可得22()xpkxm，0时，121222xxpkxxpm注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．知识点二、根的判别式和韦达定理22221(0)xyabab与ykxm联立，两边同时乘上22ab即可得到22222222()2()0akbxkmaxamb，为了方便叙述，将上式简记为20AxBxC．该式可以看成一个关于x的一元二次方程，判别式为2222224()abakbm可简单记2224()abAm．同理22221(0)xyabab和xtym联立222222222()20atbybtmybmab，为了方便叙述，将上式简记为20AyByC，2222224()abatbm，可简记2224()abAm．l与C相离0；l与C相切0；l与C相交0．注意：（1）由韦达定理写出12BxxA，12CxxA，注意隐含条件0．（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把2a，2b互换位置即可．（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把2b换成2b即可；焦点在y轴的双曲线，把2a换成2b即可，2b换成2a即可．（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．知识点三、弦长公式设11()Mxy，，22()Nxy，根据两点距离公式221212||()()MNxxyy．（1）若MN、在直线ykxm上，代入化简，得212||1MNkxx；（2）若MN、所在直线方程为xtym，代入化简，得212||1MNtyy（3）构造直角三角形求解弦长，||MN2121|||||cos||sin|xxyy．其中k为直线MN斜率，为直线倾斜角．注意：（1）上述表达式中，当为0k，0m时，1mk；（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为20(0)AxBxCA，判别式为24BAC，0时，2121212()4xxxxxx224()4BCBACAAAA，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单．（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．知识点四、已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程（1）AB是椭圆22221.0xyabab的一条弦，中点00,Mxy，则AB的斜率为2020bxay，运用点差法求AB的斜率；设11,Axy，2212,Bxyxx，A，B都在椭圆上，所以22112222222211xyabxyab，两式相减得22221212220xxyyab所以12121212220xxxxyyyyab即22121202212120yybxxbxxxayyay，故2020ABbxkay（2）运用类似的方法可以推出；若AB是双曲线22221.0xyabab的弦，中点00,Mxy，则2020ABbxkay；若曲线是抛物线220ypxp，则0ABpky．题型一：直线与圆锥曲线的位置关系例1．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆22:12xCy的两焦点为1F，2F，点00(,)Pxy满足2200012xy，则直线0012xxyy与椭圆C的公共点个数为（）A．0B．1C．2D．不确定，与P点的位置有关例2．（2023·全国·高三对口高考）若直线l被圆22:2Cxy所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有公共点的是（）A．2211xyB．2212xyC．2yx=D．221xy例3．（2023·重庆·统考二模）已知点1,2P和双曲线22:14yCx，过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线有（）A．2条B．3条C．4条D．无数条变式1．（1999·全国·高考真题）给出下列曲线方程：①4210xy；②223xy；③2212xy；④2212xy．其中与直线23yx有交点的所有曲线方程是（）A．①③B．②④C．①②③D．②③④变式2．（2023·辽宁沈阳·统考一模）命题p：直线ykxb与抛物线22xpy有且仅有一个公共点，命题q：直线ykxb与抛物线22xpy相切，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件变式3．（2023·全国·高三专题练习）过点(1,2)作直线，使它与抛物线24yx仅有一个公共点，这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【解题方法总结】（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．题型二：中点弦问题方向1：求中点弦所在直线方程问题；例4．（2023·新疆伊犁·高二统考期末）过椭圆22154xy内一点(1,1)P引一条恰好被P点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是例5．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C：221124xy，圆O：224xy，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若PBQA，则直线l的方程为．例6．（2023·陕西榆林·高二统考期末）已知,AB为双曲线2219yx上两点，且线段AB的中点坐标为1,4，则直线AB的斜率为.变式4．（2023·全国·高二专题练习）双曲线22916144xy的一条弦的中点为8,3A，则此弦所在的直线方程为.变式5．（2023·陕西宝鸡·高二校联考期末）抛物线C：26yx与直线l交于A，B两点，且AB的中点为,2m，则l的斜率为.变式6．（2023·高二课时练习）已知抛物线C的顶点为坐标原点，准线为=1x，直线l与抛物线C交于,MN两点，若线段MN的中点为1,1，则直线l的方程为．方向2：求弦中点的轨迹方程问题；变式7．（2023·全国·高三专题练习）直线l与椭圆2214xy交于A，B两点，已知直线l的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是．变式8．（2023·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末）已知椭圆22416xy内有一点(1,1)A，弦PQ过点A，则弦PQ中点M的轨迹方程是.变式9．（2023·全国·高一专题练习）斜率为2的平行直线截双曲线221xy所得弦的中点的轨迹方程是．变式10．（2023·全国·高三专题练习）直线:50laxya（a是参数）与抛物线2:1fyx的相交弦是AB，则弦AB的中点轨迹方程是.变式11．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆方程为2214yx，过点0,1M的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足12OPOAOB，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．方向3：对称问题变式12．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的焦距为2c，左右焦点分别为1F、2F，圆221:()1Fxcy与圆222:()9Fxcy相交，且交点在椭圆E上，直线:lyxm与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为14．(1)求椭圆E的方程；(2)若1m，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明理由．变式13．（2023·江苏南通·高二统考期中）已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为e，且过点1,e和23,22．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线12yx对称，求AB．变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，点61,2在椭圆C：222210xyabab上，直线l：=+yxm与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为12．(1)求C的方程；(2)若=1m，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．变式15．（2023·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知曲线C的方程是2222110axya，其中0a，1a，直线l的方程是22yxa．(1)请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线；(2)若直线l交曲线C于两点M，N，且线段MN中点的横坐标是2，求a